Rekursiv definierte Folge auf Konvergenz prüfen

Question

Folge (an)n∈ℕ mit a1:= e-1 und an+1 := Log(1+an) ∀n∈ℕ auf Konvergenz prüfen und ggf Grenzwert angeben.


Wie fange ich da an ?

Comments

Ich gehe mal davon aus, sie konvergiert gegen 0, aber ohne Taschenrechner wäre ich da etz auch nicht gekommen...

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Damit hast Du immerhin schon mal etwas gemacht, was eh empfehlenswert ist: einfach einige Glieder ausgerechnet. Was haelst Du jetzt von der These, dass die Folge monoton faellt, aber nie negativ wird?

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Dem würde ich auch zustimmen, aber wie kommt man denn überhaupt zu der Annahme, ohne Werte auszurechnen oder ist die Rechnung so trivial, dass man fähig sein sollte sie im Kopf zu rechnen ? Habe ich die Annahme getroffen, muss ich nun zeigen, dass es auch so ist und eine Ungleichung aufstellen, weiß aber nicht wie ich da jetzt weiter vorgehe

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Angenommen es gilt mon. fallend, also : an+1 ≤ an ⇒ Log(1+an) ≤ an ⇒ 1+an ≤ e^an, wobei die letzte Umformung nicht korrekt aussieht und mich auch nicht viel weiter bringt

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Wer sagt, dass man ohne irgendeine Mindestleistung nur durch Anstarren eine Aufgabe loesen kann? Ist es zu viel verlangt, einige Glieder auszurechnen, um eine Hypothese aufstellen zu koennen?

Wenn bei diesem Aufgabentyp Konvergenz vorliegt, dann ist die mit dem Monotonie-Kriterium oder dem Cauchy-Kriterium zu zeigen. Hier also wohl Monotonie-Kriterium.

Monotonie und Beschraenktheit folgen aus der Abschaetzung $$0\le\log(1+x)\le x\quad\text{fuer $x\ge0$}.$$

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Und das zeig ich mit vollständiger Induktion ? Falls ja, hab ich Schwierigkeiten mit dem Induktionsschritt, der wäre ja  Log(1+a_n+1) ≤ a_n+1 ⇔ Log(1+Log(1+a_n) ≤ Log(1+a_n) ⇔ ... ⇔ a_n≤a_n   ?

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Wenn \(a_n\ge0\), dann kann man die linke Haelfte der angegebenen Ungleichung verwenden und erhaelt \(0\le\log(1+a_n)=a_{n+1}\). Wegen \(a_1\ge0\) folgt \(a_n\ge0\) für alle \(n\) mit vollstaendiger Induktion.

Danach liefert die rechte Haelfte direkt \(a_{n+1}=\log(1+a_n)\le a_n\).

Answer 1

Hallo Fakename, dein Ansatz Monotonie und Beschränktheit ist doch klasse, das sollten wir in eine Antwort reinschreiben statt nur in einen Kommentar.  Zusätzlich noch die Berechnung des stationären Zustandes:  a = log(a + 1)   =>  a = 0.

Comments

Hallo Fakename, Faszination wollte wissen, wie man 0 <= ln(x + 1) <= x für x >= 0 beweisen kann.  Hier mein Vorschlag, siehe Bild.