Selbstadjungierter Operator T.... Zeige: Gilt T^2=0, dann gilt auch T=0.

Question

1. Sei T ein selbstadjungierter Operator auf V ist ein Skalarproduktraum. Gilt T^2=0, dann gilt auch T=0. 

   Ich weiss hier, dass T=T* ist aber was bringt mir das?

Answer 1

Nach Voraussetzung gilt \(\langle Tx,y\rangle=\langle x,Ty\rangle\) für alle \(x,y\in V\).
Wähle nun \(x\in V\) beliebig und \(y=Tx\). Dann gilt
\(\langle Tx,Tx\rangle=\langle x,T^2x\rangle=\langle x,0\rangle=0\).
Es folgt \(Tx=0\) und daraus \(T=0\), also die Behauptung.

Comments

Wieso Kommentar. Das ist doch eine Lösung.

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EDIT: Umgewandelt.