hänge bei dieser Aufgabe fest. Soll ohne Lhospital gelöst werden.
limn→∞ln(2n+n2+10)ln(en+n+10)\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { ln({ 2 }^{ n }+{ n }^{ 2 }+10) }{ ln({ e }^{ n }+n+10) } } n→∞limln(en+n+10)ln(2n+n2+10)
Versuch es doch mal so:
limn→∞ln(2n+n2+10)ln(en+n+10)=limn→∞ln(2n(1+n22n+102n))ln(en(+nen+10en))=limn→∞ln(2n)+ln(1+n22n+102n)ln(en)+ln(1+nen+10en)=limn→∞nln(2)+ln(1+n22n+102n)nln(e)+ln(1+nen+10en)=ln(2) \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { ln({ { 2 }^{ n }+{ n }^{ 2 }+10) } }{ ln({ e }^{ n }+n+10) } = } \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { ln({ { 2 }^{ n }(1+\frac { { n }^{ 2 } }{ { 2 }^{ n } } +\frac { 10 }{ { 2 }^{ n } } )) } }{ ln({ e }^{ n }(+\frac { n }{ { e }^{ n } } +\frac { 10 }{ { e }^{ n } } )) } = } \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { ln({ { 2 }^{ n })+ln(1+\frac { { n }^{ 2 } }{ { 2 }^{ n } } +\frac { 10 }{ { 2 }^{ n } } ) } }{ ln({ e }^{ n })+ln(1+\frac { n }{ { e }^{ n } } +\frac { 10 }{ { e }^{ n } } ) } = } \\ \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { nln({ { 2 })+ln(1+\frac { { n }^{ 2 } }{ { 2 }^{ n } } +\frac { 10 }{ { 2 }^{ n } } ) } }{ nln({ e })+ln(1+\frac { n }{ { e }^{ n } } +\frac { 10 }{ { e }^{ n } } ) } = } ln(2)\\ n→∞limln(en+n+10)ln(2n+n2+10)=n→∞limln(en(+enn+en10))ln(2n(1+2nn2+2n10))=n→∞limln(en)+ln(1+enn+en10)ln(2n)+ln(1+2nn2+2n10)=n→∞limnln(e)+ln(1+enn+en10)nln(2)+ln(1+2nn2+2n10)=ln(2)
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