Exponentialfunktion Beispiel: Wirkstoff des Aspirin mit Halbwertszeit

Question

Folgendes:

M(t) = M_o * a^t

M_o = 500
a= 1/2 ^ t/3 = 3*√ 1/2 ^ t = 0,7937^t  ergebnis stimmt aber woher die 1/2 ???

M(t) = 500 * 0,7937^t  einfach einsetzen 1,2,3,4..

Answer 1

Das kommt von der Halbwertszeit.

Ausführlicher kannst du auch so vorgehen.

Die Hälfte von 500 ist 250 und das ist nach 3 Stunden vorhanden,

also  wird aus   M(t) = M_o * a^t    durch Einsetzen:

250 = 500 * a³    | : 500

1/2   =   a³ 


(1/2)^1/3 = a

Answer 2

> M(t) = M_o * a^t
> M_o = 500

Also spezieller M(t) = 500 · a^t.

Nach 3 Stunden sind nur noch 250 mg im Körper. Einsetzen in obige Gleichung liefert

    250 = 500 · a³.

Löse die Gleichung nach a auf.

> a= 1/2 ^ t/3 = 3*√ 1/2 ^ t

Es müsste \(a^t = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{3}}=\left(\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\right)^t\) heißen.

> woher die 1/2 ?...

Wenn \(t = 3\) ist, dann ist \(a^t = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{3}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{3}{3}} = \frac{1}{2}\). Also ist dann

    M(3) = M_o * 1/2

und genau dass ist in der Aufgabenstellung gefordert.