Mit Hilfe der Zinseszinsformel berechnet man, über wie viel Kapital ein Anleger in einem Zeitpunkt verfügt. Dabei werden sowohl Zins- als auch Zinseszinseffekte berücksichtigt.
Zinseszinsformel $$K_n=K_0\cdot \left(1+\frac{r}{100}\right)^n$$
Um die Anzahl der Jahre zu berechnen bis sich das Kapital vervierfacht hat, wenn der Zinssatz r=7.5% im Jahr ist, müssen wir die Gleichung $$K_n=K_0\cdot \left(1+\frac{r}{100}\right)^n$$ nach n auflösen.
$$K_n=K_0\cdot \left(1+\frac{r}{100}\right)^n \Rightarrow \frac{K_n}{K_0}=\left(1+\frac{r}{100}\right)^n$$
Um nach n auflösen zu können, müssen wir die Gleichung logarithmieren, und zwar mit Bezüglich der Basis $$\left(1+\frac{r}{100}\right)$$
Wir machen also folgendes: $$\frac{K_n}{K_0}=\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \\ \Rightarrow \log_{\left(1+\frac{r}{100}\right)}\left(\frac{K_n}{K_0}\right)=\log_{\left(1+\frac{r}{100}\right)}\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \\ \Rightarrow \log_{\left(1+\frac{r}{100}\right)}\left(\frac{K_n}{K_0}\right)=n$$
Da das Kapital vervierfachen soll, gilt $$K_n=4\cdot K_0$$
Wenn wir das einsetzten, bekommen wir folgendes: $$n=\log_{\left(1+\frac{7.5}{100}\right)}\left(\frac{4\cdot K_0}{K_0}\right) \Rightarrow n=\log_{\left(1+0.075\right)}\left(4\right) \Rightarrow n=\log_{1.075}\left(4\right) \Rightarrow n\approx 19.1687$$
Also es dauert mindestens 20 Jahre (da das 19.1687 keine ganze Zahl ist, wählen wir die nächst größte ganze Zahl, also 20) bis das Kapital sich vervierfacht hat.
