Integrieren mit Wurzel 8 (Schwerpunkt)

Question

ich rechne Aufgaben zur Integralrechnung wo ich die Koordinaten des Schwerpunktes einer Fläche berechnen soll.

Mit diesem Thema hab ich keine Probleme jedoch bin ich auf eine Aufgabe gestoßen die mich zum Verzweifeln bringt.

Die Funktionen lauten :

f(x)= (x-1)² -8

g(x)= 0

Hier scheiter ich direkt am Anfang bei der Bestimmung der Grenzen.

(x-1)² -8  = x² -2x+1-8 = x² -2x-7

als nächstes die pq-Formel: 2/2±√((2/2)² +7) = 1±√8 (ausgerechnet sind das 3.82 und -1.82)

Ab hier komme ich nicht mehr weiter weil das ein sehr unschöner Wert ist und wir keinen Taschenrechner nutzen dürfen.

ich frage mich wie ich mit diesem Wert integrieren soll ? Angeblich soll es einen Trick geben aber welchen ?

Der nächste Schritt wäre ja den Flächeninhalt aus zurechnen. Nur wie mach ich das wenn ich solch blöde Grenzen habe ?

Weil normalerweise sind die Aufgaben so gestellt dass ich auf "vernünftige" Werte komme. (wie z.B.: 4 und 0 oder 2 und -2)

Ich bin für jede Hilfstellung dankbar!

LG

Answer 1

f(x)= (x-1)² -8

g(x)= 0

Du suchst, das zwischen den beiden Graphen eingeschlossene Flächenstück.

Dann brauchst du eigentlich die Nullstellen von f.

 (x-1)² -8  = 0        | auflösen nach x | + 8

(x-1)^2 = 8          |√

x-2 = √(8)

x = 1 ± √8

x1 = 1 - √(8) , x2= 1 + √(8)

f(x) = (x-1)² -8  = x² -2x+1-8 = x² -2x-7

∫_(x1)^x2 x^2 - 2x - 7 dx

= 1/3 x^3 - x^2 - 7x     |_(x1)^x2

= 1/3 (1+√(8))^3 - (1+√8)^2 - 7(1+√8)  - 1/3 (1-√(8))^3 + (1-√8)^2 + 7(1-√8)

So weit dasselbe, nehme ich an. Kontrolliere die Vorzeichen!

Dann geduldig noch Klammern auflösen und alles streichen, was + und - vorkommt.

Kontrolliere deine Zwischenresultate und auch das Resultat mit:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%3D+1%2F3+(1%2B%E2%88%9A(8))%5E3+-+(1%2B%E2%88%9A8)%5E2+-+7(1%2B%E2%88%9A8)++-+1%2F3+(1-%E2%88%9A(8))%5E3+%2B+(1-%E2%88%9A8)%5E2+%2B+7(1-%E2%88%9A8) 

Jetzt, weil es eine Fläche sein soll, noch das Minus weglassen. (den Betrag vom Resultat nehmen)

Comments

Vielen Dank für deine Anwort!

Gibt es denn keine Möglichkeite das Ganze zu vereinfachen ?

Weil selbst wenn ich das schriftlich alles aus korrekt gerechnet hätte ( was ich nicht glaube ) kommt ja als nächstes die Koordinaten xs und ys des Schwerpunktes.

Also kurz gefasst: Gibt es keine Möglichkeite die Wurzel 8 weg zubekommen ?

Weil falls diese Aufgabe mit solchen Werten in der Klausur dran kommt sitz ich die ganze Zeit nur an dieser Aufgabe. Da wird es wohl sinnvoller sein diese Aufgabe weg zulassen und die anderen Aufgaben zu berechnen.

LG

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Gibt es keine Möglichkeit die Wurzel 8 weg zubekommen ? 

Nein. Die bleibt. Du kannst höchstens √8 = 2*√2 schreiben, das macht die Sache nicht einfacher. 

Übrigens ist Wolframalpha in der Lage, die zwischen den Graphen eingeschlossene Fläche auszurechnen:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x-1)%5E2+-8 

Kannst du beim Üben für Kontrollen nutzen. 

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Okay.

Ich hoffe dann, dass ich auf keine Wurzel stoße.

Lg