Vorgehen Gauß- und Gauß-Jordan-Verfahren

Question

Wie gehe ich beim Gauß- und Gauß-Jordan-Verfahren vor, also wo versuche ich zuerst eine 0 zu erzeugen oder was sollte ich noch anderes tun auf dem Weg zur Lösung?

Beim Gauß-Verfahren hat sich für die Stufenform bewährt zB bei einer 3x3-Matrix zuerst an der Seite unten die beiden Nullen (a21, a31) und dann die mittige Null (a32) nacheinander herzustellen. Funktioniert auch eigentlich recht gut.

Beim Inverieren (Gauß-Jordan) habe ich aber das Problem, dass ich ja quasi unten links und oben rechts eine "Treppe/Stufe" habe. Da weiß ich nicht recht wo ich anfangen bzw. wie ich weiter machen soll...

Ich mache z.B. bei einer 3x3-Matrix zuerst die linke Seite unten (a21, a31), dann die mittlere Spalte oben und unten (a12, a32) und dann ganz rechts (a13, a23). Dabei versaue ich mir bisher aber jedes Mal meine Nullen, die ich mir vorher errechnet habe... Wie soll ich beim Invertieren vorgehen? Welche 0 zuerst, welche dann, welche dann und besonders wichtig: wieso?

mfG

Answer 1

Grundsätzliche Vorgehen (ohne Ausnutzung von Rechenvorteilen):

1. Zeilen zu allen nachfolgenden addieren, so dass in erster Spalte 0 entsteht.

2. Zeile zu allen nachfolgenden addieren, so dass in zweiter Spalte 0 entsteht

in letzter Zeile bleibt dann rechts ein Matrixwert und ggf. ein Wert des Ergebnisvektors

Jetzt Rücksubstitution

Letzte Zeile zu alle darüber stehen Zeile addieren, so dass alle Werte der letzten Matrixspalte 0 werden

Jetzt steht in vorletzter Zeile in der Matrixdiagonale ein Wert man addiert die vorletzte Zeile zu allen darüberstehenden Zeile so dass in vorletzter Spalte 0 entsteht.

Zu letzte hast Du die Einheitsmatrix (ggf. die Diagonalwert durch Division auf 1 bringen) und im Ergebnisvektor die Lösungswerte

Oder wenn Du neben der Matrix die Einheitsmatrix statt des Ergebnisvektor mit gezogen hast, dann hast Du die Inverse...