lineares Gleichungssystem (ausführliche Lösung)

Question

a + b + c + d = 12
2a - b + c - d = 19
a - 2b + 5c + 2d = 2
-a + 2b - 5c - d = -2

Über eine ausführliche Lösung wäre ich euch sehr dankbar.:)

Answer 1

Die Koeffizienten der und die rechten Seiten der Gleichung fasst man in einer Matrix zusammen ( | steht für =)

Dann führt man erlaubte Umformungen des Gauß-Algorithmus ( vor allem Ersetzen einer Zeile  durch ein Vielfaches dieser Zeile ± ein Vielfaches einer anderen Zeile)  durch, um unterhalb der Hauptdiagonalen der Matrix Nullen zu erzeugen ohne bereits erzeugte Nullen zu zerstören.

Ausgangsmatrix:

⎡  1   1   1   1 | 12 ⎤

⎢  2  -1   1  -1 | 19 ⎥

⎢  1  -2   5   2 |   2 ⎥

⎣ -1   2  -5  -1 |  -2 ⎦

----------------------------------------

⎡ 1   1   1   1  | 12  ⎤

⎢ 0  -3  -1  -3 |  -5  ⎥   Z2 - 2*Z1

⎢ 0  -3   4   1  | -10 ⎥    Z3 - Z1 

⎣ 0   3  -4   0  | 10  ⎦    Z4 + Z1

-----------------------------------------

⎡ 1   1   1   1  |  12 ⎤

⎢ 0  -3  -1  -3  |  -5 ⎥

⎢ 0   0   5   4   | -5 ⎥    Z3 - Z2 

⎣ 0   0  -5  -3  |  5 ⎦    Z4 + Z2 

-----------------------------------------

⎡ 1   1   1   1 | 12 ⎤

⎢ 0  -3  -1  -3 | -5 ⎥

⎢ 0   0   5   4 | -5 ⎥

⎣ 0   0   0   1 |  0 ⎦   Z4 + Z3 

Die Matrixzeilen kann man jetzt - beginnend von unten -  als Gleichungen lesen, z.B. 

Z3:  5c + 4d = -5   usw.  

und nach der Unbekannten umstellen.

Z4  →  d = 0  

Z3  →  c = (- 5 - 4d) / 5  =  (-5 - 4*0) / 5  = - 1 

Z2 →   b = (-5 + 3d + c) / (-3)  =  (-5 + 3*0 + (-1)) / (-3)  =  2

Z1 →   a =  ( 12 - d - c - b)  =  12 - 0 + 1  - 2  = 11

Gruß Wolfgang

Answer 2

$$ \text{Gaussalgorithmus: } A:=\begin{pmatrix}-1 & 2 & -5 & -1 & -2 \cr 1 & 1 & 1 & 1 & 12\cr 2 & -1 & 1 & -1 & 19\cr 1 & -2 & 5 & 2 & 2\end{pmatrix} \\ A[2]=A[2]+A[1]A[3]=A[3]+2*A[1]A[4]=A[4]+A[1] \\ \begin{pmatrix}-1 & 2 & -5 & -1 & -2\cr 0 & -3 & 4 & 0 & -10\cr 0 & -3 & 9 & 3 & -15\cr 0 & 0 & 0 & -1 & 0\end{pmatrix} \\ A[3]=-3*A[3]+3*A[2]\begin{pmatrix}-1 & 2 & -5 & -1 & -2\cr 0 & -3 & 4 & 0 & -10\cr 0 & 0 & -15 & -9 & 15\cr 0 & 0 & 0 & -1 & 0\end{pmatrix} \\ \text{Rücksubstitution... } \\ A[1]=-A[4]+A[1]A[3]=-9*A[4]+A[3]A[3]=A[3]/A[3,3] \\ \begin{pmatrix}-1 & 2 & -5 & 0 & -2\cr 0 & -3 & 4 & 0 & -10\cr 0 & 0 & 1 & 0 & -1\cr 0 & 0 & 0 & -1 & 0\end{pmatrix} \\ A[1]=-5*A[3]-A[1]A[2]=4*A[3]-A[2]A[2]=A[2]/A[2,2] \\ \begin{pmatrix}1 & -2 & 0 & 0 & 7\cr 0 & 1 & 0 & 0 & 2\cr 0 & 0 & 1 & 0 & -1\cr 0 & 0 & 0 & -1 & 0\end{pmatrix} \\ A[1]=2*A[2]+A[1]A[1]=A[1]/A[1,1] \\ \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 11\cr 0 & 1 & 0 & 0 & 2\cr 0 & 0 & 1 & 0 & -1\cr 0 & 0 & 0 & -1 & 0\end{pmatrix} [a=11,b=2,c=-1,d=0] $$