Ist meine Lösung korrekt? Lineares Gleichungssystem

Question

Aufgabe:

Löse das lineare Gleichungssysthem:

1a + 2b + 0c - 4d = 3

2a + 0b +3c + 2d = -1

4a + 4b + 3c + 0d = 7

Problem/Ansatz:

Ist meine Lösung korrekt?

a= 11/4

b = 3/4

c= -7/3

d= 20/16

Answer 1

Du kannst Deine Lösung in die Gleichungen einsetzen. Wenn die Gleichungen stimmen, stimmt auch die Lösung.

Für vier Variablen braucht es aber im Allgemeinen vier Gleichungen. Du hast nur drei Gleichungen angegeben. Somit bleibt schleierhaft, wie Du das Gleichungssystem gelöst haben kannst.

Comments

Also wenn ich es einsetze, kommt das korrekte raus. Ich habe es ein zweites mal nachgerechnet und bekomme diesmal die Lösung 0 0 0 0 | 0. ich bin selber etwas verwirrt was jetzt richtig ist :/

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Siehe oben: Es braucht vier Gleichungen.

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Also kann man das garnicht berechnen oder wie soll ich das verstehen. Aber verstehe dann nicht wie ich es geschafft habe auf die Lösung zu kommen. Habe per Hand gerechnet

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Wenn Du selber nicht mehr verstehst was Du gerechnet hast, werden es andere Leute eher auch nicht verstehen. Beim angegebenen LGS gilt immer, dass d = 1/3 und die anderen Variablen kann man nicht bestimmen, weil es eben nur drei Gleichungen sind.

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Wenn ich meine Lösung in jede einzelne Gleichung einsetze kommt das korrekte raus. Das heisst dann wohl dass ich auch richtig gerechnet habe & meine Lösung auch richtig ist. Nehme ich jetzt mal so an.

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Wenn ich meine Lösung in jede einzelne Gleichung einsetze kommt das korrekte raus

Nö, schon bei der ersten Gleichung ergibt sich -0,75 = 3 mit Deiner Lösung.

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Ja das ist mir jetzt auch aufgefallen. Also doch falsch. Habe wieder nachgerechnet und komme immer noch auf die Lösung 0 0 0 0 | 0

Ist das denn richtig ?

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Du kannst für jede Variable den Wert 0 einsetzen und schauen, ob die Gleichungen dann stimmen.

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Passt auch nicht :D meine Rechnung sieht aber immer so richtig aus. Egal ich gebe es auf. Vielen Dank dir trotzdem

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Es fehlt die vierte Gleichung.

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Es fehlt die vierte Gleichung.

Erstens : Woher willst du das wissen ?
Zweitens : Wozu soll die gut sein ?

Answer 2

Aloha :)

Du hast eine Variable mehr als du Gleichungen hast. Das führt in der Regel auf ein Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen:$$\begin{array}{rrrr|r|l}a & b & c & d & = & \text{Aktion}\\\hline1 & 2 & 0 & -4 & 3 &\\2 & 0 & 3 & 2 & -1 &-2\cdot\text{Zeile 1}\\4 & 4 & 3 & 0 & 7 &-4\cdot\text{Zeile 1}\\\hline1 & 2 & 0 & -4 & 3 &+\frac12\cdot\text{Zeile 2}\\0 & -4 & 3 & 10 & -7 &\\0 & -4 & 3 & 16 & -5 &-\text{Zeile 2}\\\hline1 & 0 & \frac32 & 1 & -\frac12 &\\[0.5ex]0 & -4 & 3 & 10 & -7 &\colon(-4)\\0 & 0 & 0 & 6 & 2 &\colon6\\\hline1 & 0 & \frac32 & 1 & -\frac12 &-\text{Zeile 3}\\[0.5ex]0 & 1 & -\frac34 & -\frac52 & \frac74 &+\frac52\cdot\text{Zeile 3}\\[0.5ex]0 & 0 & 0 & 1 & \frac13 &\\\hline1 & 0 & \frac32 & 0 & -\frac56 &\Rightarrow a+\frac32c=-\frac56\\[0.5ex]0 & 1 & -\frac34 & 0 & \frac{31}{12} &\Rightarrow b-\frac34c=\frac{31}{12}\\[0.5ex]0 & 0 & 0 & 1 & \frac13 &\Rightarrow d=\frac13\end{array}$$

Wenn du die erhaltenen Bedingungsgleichungen umstellst$$a=-\frac56-\frac32c\quad;\quad b=\frac{31}{12}+\frac34c\quad;\quad d=\frac13$$kannst du alle Lösungen des Gleichungssystems angeben:$$\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac56-\frac32c\\[0.5ex]\frac{31}{12}+\frac34c\\[0.5ex]c\\[0.5ex]\frac13\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac56\\[0.5ex]\frac{31}{12}\\[0.5ex]0\\[0.5ex]\frac13\end{pmatrix}+c\cdot\begin{pmatrix}-\frac32\\[0.5ex]\frac34\\[0.5ex]1\\[0.5ex]0\end{pmatrix}$$

Den Parameter \(c\in\mathbb R\) kannst du beliebig wählen.