Aloha :)
Du hast eine Variable mehr als du Gleichungen hast. Das führt in der Regel auf ein Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen:$$\begin{array}{rrrr|r|l}a & b & c & d & = & \text{Aktion}\\\hline1 & 2 & 0 & -4 & 3 &\\2 & 0 & 3 & 2 & -1 &-2\cdot\text{Zeile 1}\\4 & 4 & 3 & 0 & 7 &-4\cdot\text{Zeile 1}\\\hline1 & 2 & 0 & -4 & 3 &+\frac12\cdot\text{Zeile 2}\\0 & -4 & 3 & 10 & -7 &\\0 & -4 & 3 & 16 & -5 &-\text{Zeile 2}\\\hline1 & 0 & \frac32 & 1 & -\frac12 &\\[0.5ex]0 & -4 & 3 & 10 & -7 &\colon(-4)\\0 & 0 & 0 & 6 & 2 &\colon6\\\hline1 & 0 & \frac32 & 1 & -\frac12 &-\text{Zeile 3}\\[0.5ex]0 & 1 & -\frac34 & -\frac52 & \frac74 &+\frac52\cdot\text{Zeile 3}\\[0.5ex]0 & 0 & 0 & 1 & \frac13 &\\\hline1 & 0 & \frac32 & 0 & -\frac56 &\Rightarrow a+\frac32c=-\frac56\\[0.5ex]0 & 1 & -\frac34 & 0 & \frac{31}{12} &\Rightarrow b-\frac34c=\frac{31}{12}\\[0.5ex]0 & 0 & 0 & 1 & \frac13 &\Rightarrow d=\frac13\end{array}$$
Wenn du die erhaltenen Bedingungsgleichungen umstellst$$a=-\frac56-\frac32c\quad;\quad b=\frac{31}{12}+\frac34c\quad;\quad d=\frac13$$kannst du alle Lösungen des Gleichungssystems angeben:$$\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac56-\frac32c\\[0.5ex]\frac{31}{12}+\frac34c\\[0.5ex]c\\[0.5ex]\frac13\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac56\\[0.5ex]\frac{31}{12}\\[0.5ex]0\\[0.5ex]\frac13\end{pmatrix}+c\cdot\begin{pmatrix}-\frac32\\[0.5ex]\frac34\\[0.5ex]1\\[0.5ex]0\end{pmatrix}$$
Den Parameter \(c\in\mathbb R\) kannst du beliebig wählen.
