Welche Mengen von Gut 1 und Gut 2 konsumiert er im Optimum?

Question

Martins Präferenzen kann man durch die Nutzenfunktion U(x₁, x₂)=x₁^1/2x₂² abbilden, wobei der Preis von x₁ bei 20€ liegt und der Preis von x₂ bei 10 Euro liegt und das Einkommen bei 100 Euro. Welche Mengen konsumiert er von Gut 1 und Gut 2 im Optimum?

Antwort ist x₁=1 und x₂=8, aber ich komme nicht auf den Rechenweg :(

Answer 1

Hallo ii,

ich schreibe x für x₁ , y für x₂

U(x,y) = x^1/2 · y²

 soll unter der Nebenbedingung 20x + 10y = 100  ( ⇔ y = 10 - 2x) maximal werden.

D_Ök = { (x,y) ∈ ℝ² | x,y ≥ 0 und 20x + 10y = 100 }

y einsetzen:

U₂(x) = √x * (10-2x)²      x ∈ [ 0 ,5 ]

U₂'(x) =  1/(2*√x) * (10-2x)² + √x * 2 *  (10-2x) *(-2)      x ≠ 0

           =  (50 - 20x + 2x²) / √x  +  √x * (8x - 40)

           =  (50 - 20x + 2x² + 8x² - 40x) / √x  

           =  (10x² - 60x + 50) / √x

           = 10 * (x² - 6x + 5) / √x

U₂'(x) = 10·(x - 1)·(x - 5) / √x = 0      [ oder Nullstellen von x² - 6x + 5 mit pq-Formel ]

x₁ = 1  mit Vorzeichenwechsel von + → -  →  lokale Maximalstelle

x₂ = 5  mit Vorzeichenwechsel von - → +  →  lokale Minimalstelle

Randwerte: U₂((0)) = 0  [ und U₂(5) = 0 ]   →  x₁  ist absolute Maximalstelle

Nutzenoptimum für (x,y) = (1, 8)    ( ∈ D_Ök )  

optimaler Nutzen  U( (1,8) ) = 64

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Solltet ihr das mit Lagrange machen müssen, musst du dich wieder melden.

Gruß Wolfgang 

Comments

Kannst du den Rechenweg mit Lagrange auch hier posten? Obwohl es immer das selbe Schema ist, wird es wohl einige Zeit dauern bis ich endlich einmal eine Lösung richtig rausbekomme. Wie kann so etwas so kompliziert sein?