Question

kleinste fläche zwischen f(x)=x^2 und g(x)=mx+1 für welches m? also wie kann man das mit Integralrechnung berechnen..? m=1 ist lösung

Answer 1

Differenzfunktion

d(x) = (mx + 1) - (x^2) = -x^2 + m·x + 1

D(x) = -x^3/3 + m·x^2/2 + x

Schnittpunkte d(x) = 0

-x^2 + m·x + 1 = 0 --> m/2 ± √(m^2 + 4)/2

Fläche

A = D(m/2 + √(m^2 + 4)/2) - D(m/2 - √(m^2 + 4)/2) = (m^2 + 4)^{3/2}/6

Maximum der Fläche A' = 0

A' = m·√(m^2 + 4)/2 = 0 --> m = 0

Skizze

~plot~ x^2;1;x+1 ~plot~

m = 0 macht also mehr Sinn als m = 1

Answer 2

m=1 ist nicht die Lösung; denn für m=1 ergibt sich eine

Flächenmaßzahl von etwa 1,86 und für m=0 ergibt sich 1,33.

f(x)=x² und g(x)=mx+1  schneiden sich, wenn 

x² =mx+1    also bei

x=  m/2  ±√(m² +4 )

Also ist die Fläche dazwischen

Integral von   m/2  - √(m² +4 )  bis  m/2  + √(m² +4 ) über mx+1-x²  dx.

Gibt  (1/6)*(m² +4)3/2 und davon die Ableitung nach m ist

m* √(m² +4 ) / 2   und das ist gleich 0 für m=0.

Bei m=0 ergibt sich die kleinste Fläche.