additionsverfahren 4 unbekannte 3 gleichungen

Question

ich habe eine Frage zum Additionsverfahren.

I) 6 + 3s - 5t = 2 + 4u - v

II) 4 - 2s + 3t = 2 + 11u + v

III) 7 + 2s - 7t = 4 + 3v

Ich haben ein problem mit dieser Aufgabe. Habe auch schon gegooglet aber das Gaussche Verfahren hatten wir nicht nur Additionsverfahren.

Answer 1

6 + 3·s - 5·t = 2 + 4·u - v

4 - 2·s + 3·t = 2 + 11·u + v

7 + 2·s - 7·t = 4 + 3·v

Bringen wir zunächst alle Variablen nach links und den Rest nach rechts.

3·s - 5·t - 4·u + v = -4

2·s - 3·t + 11·u + v = 2

2·s - 7·t - 3·v = -3

Ich addiere mal so, dass das v wegfällt. II - I ; III + 3*I

-s + 2·t + 15·u = 6

11·s - 22·t - 12·u = -15

Ich lasse als nächstes s und t wegfallen. II + 11*I

153·u = 51

Nun lösen wir auf.

153·u = 51 --> u = 1/3

-s + 2·t + 15·(1/3) = 6 --> s = 2·t - 1 ; t bleibt einfach als Unbekannte stehen.

2·(2·t - 1) - 7·t - 3·v = -3 --> v = 1/3 - t

Damit ist die Lösung: [s, t, u, v] = [2·t - 1, t, 1/3, 1/3 - t] = [-1, 0, 1/3, 1/3] + t·[2, 1, 0, -1]

Answer 2

Das ist beides ungefähr das gleiche

I) 6 + 3s - 5t = 2 + 4u - v

II) 4 - 2s + 3t = 2 + 11u + v

III) 7 + 2s - 7t = 4 + 3v

Erst mal alle Variablen auf eine Seite und die Zahlen auf

die andere:

I)     3s - 5t   -   4u + v     = -4

II) - 2s + 3t  - 11u  - v     =  -2

III)    2s - 7t           -3v     = -3


Jetzt dafür sorgen, dass eine Variable


hier bietet sich u an, nur noch in einer der


Gleichungen vorkommt,  also 


1. Gleichung * 11  zur  2. Gleichung * (-4) dazu addieren gibt

I)     3s     - 5t   -   4u + v     = -4
II)    41s  -67t           +15v    =  -36
III)    2s - 7t                -3v     = -3

Jetzt noch aus einer der beiden ohne u eine weitere

Variable  hier besser v eliminieren :

2. Gleichung zu 5* 3. Gleichung addieren:

I)     3s     - 5t   -   4u + v     = -4
II)    41s  -67t           +15v    =  -36
III)    51s - 102t                     = - 51

Jetzt siehst du, dass du in der 3. Gleichung eine Variable frei

wählen kannst, etwa  t=x , dann einsetzen gibt

51s - 102 x                     = - 51

also s = 2x - 1 .

beides in die II) einsetzen gibt

   v =  -x + 1/3 

alles in I) einsetzen gibt 

     u = 1/3

Also sind alle Lösungen von der Form

( 2x-1  ;   x  ;   1/3   ;    -x + 1/3  ) 

Wenn du eine spezielle Lösung brauchst, setzte einfach für

x irgendwas ein ( z.B. 0) und erhalte (  -1  ;  0  ;  1/3  ;  1/3 ) .

Answer 3

Fasse zunächst einmal die Zahlen zusammen:

I) 4 + 3s - 5t =  4u - v

II) 2 - 2s + 3t = 11u + v

III) 3 + 2s - 7t =  3v

Jetzt entschließen wir uns zum Eliminieren von s: IV=II+III) 5-4t=11u+4v

Um eine zweite Gleichung zu erhalten, die s nicht enthält, rechnen wir

2·I =V) 8+6s-10t=8u-2v

3·II=VI) 6-6s+9t=33u+3v

und addieren V und VI zu VII) 14-t=41u+v

Jetzt haben wir zwei Gleichunge (IV und VII) mit drei Unbekannten

IV) 5-4t=11u+4v

VII)14-t=41u+v. Jetzt entscheiden wir uns,t zu eliminieren und so weiter. Das Problem ist aber, dass es keine eindeutige Lösung geben wird. Mit etwas Geschick kommen wir aut u=1/3. Aber selst damit erhalten wir keine eindeutige Lösung für s, t und v.