Denkblockade bei DGL xy'-y = 0?

Question

ich rechne gerade weiter fröhlich rum und stoße jetzt auf eine Problem:

Nach der Trennung der Variablen bei xy'-y = 0 komme ich auf
ln(y) = ln(x) + C        |e^
y  = x + e^C
y  = x + h(x) um weiterzurechnen, in einer Lösung steht aber

y = C*x    wie kommt man hier auf das mal und warum kein + ?!?
y = h(x)*x

Kann mir das jemand leicht verständlich erklären??

Vielen Dank

Answer 1

Hi,

Du hast Dich beim Anwenden der e-Funktion vertan:

ln(y) = ln(x) + C        |e^

y = e^{ln(x) + C}             |Potenzgesetz

y = e^ln(x) · e^C

y = x·d

Alles klar? :)

Grüße

Comments

Das macht das Leben natürlich einfacher (Denkblockade),

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Hehe passiert.

Gerne :)

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Bei dieser Rechnung ergeben sich nur positive d = e^c

und für y  ein unnötig stark eingeschränkter Definitionsbereich  ℝ⁺ statt ℝ \ {0}

vgl. meine Antwort

   

Answer 2

Hallo cecke, 

Genauer müsste da stehen:

(Nach Trennung der Variablen und Integration)

ln(|y|) = ln(|x|) + C₁    c₁ ∈ ℝ              x ∈ ℝ \ {0}

|y| = e^ln(|x|)+c1  =  e^ln(|x|) * e^c1     

 y = ± e^c1  *  e^ln(|x|) 

Und da y = 0   offensichtlich auch eine Lösung ist ( in DGL einsetzen):

y = c * e^ln(|x|)    mit c ∈ ℝ

y = c * |x|           D = ℝ \ {0}

Gruß Wolfgang