Wie rechnet man das mit der h-Methode? f(x) = 2/(3x^3)

Question

Ich komme irgendwie nicht drauf Hilfe wäre echt Nett danke!

Comments

Geht es um die h-Methode an sich zur Bestimmung einer Ableitung?

Da findest du viele vorgerechnete Beispiele bei den "ähnlichen Fragen" unten. Bsp. https://www.mathelounge.de/382718/h-methode-frage-bezuglich-2-aufgaben

Oder: Steckst du bei der Umformung in deiner Aufgabe gerade irgendwo fest? Wie weit bist du?

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Das ist die Lösung dazu ich verstehe sie aber nicht.

Warum wurde einfach beim dritten schritt die 81 auf die andere Seite gepackt und oben der Zähler verändert?

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Du hast x = 3 gesetzt. Stimmt das ?

Answer 1

Hallo jc,

mit der h-Methode führt man Grenzwertberechnungen

lim_x→a f(x)   auf   lim_h→0+  f(a±h)  zurück.

Das ist oft einfacher zu rechnen.  (Bei deinem Beispiel nicht!)

lim_h→0+  f(a+h) ist dann ggf. der rechtsseitige,  lim_h→0+  f(a-h) der linksseitige Grenzwert.

Gruß Wolfgang

Comments

Heißt das jetzt ich muss in der Formel statt mit lim_h→0  f(x+h) , mit lim_h→0  f(x-h)  rechnen?

Aber es ist in der Lösung anders....

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Hatte in der Antwort x+a für a+h getippt und das korrigiert.

Man kann auch mit  lim_h→0  f(a+h)  rechnen, dann muss man aber beachten, dass h positiv oder negativ sein kann.

Eigentlich ersetzt man einfach nur  x=a+h. 

Dann geht x→a , wenn h →0 geht.

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Also ist diese Aufgabe schwer?

Hast du eine ähnliche Aufgabe ggf. mit einer Lösung die etwas einfacher ist?

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lim_x→1  (x²-1) / (x-1)

       x = 1+h setzen  und dann   lim_h→0  ausrechnen: 

=  lim_h→0  [ (1+h)² - 1 ] / [ 1+h - 1 ]

        binomische Formel:

=  lim_h→0  [ 1+2h+h² - 1 ] / h

=  lim_h→0  [ 2h+h² ] / h

=   lim_h→0  [ 2h+h² ] / h

           h ausklammern:

=   lim_h→0  [ h · (2+h) ] / h

           durch h kürzen:          (das ist das Ziel der h-Methode)

=   lim_h→0   (2+h)

=   2

Answer 2

Ziel der Umformung in deinem Kommentar ist es, aus dem Doppelbruch einen einfachen Bruch zu machen und nach Möglichkeit einen Faktor h zu kürzen. Danach wird man dann der Grenzübergang h-> 0 machen können. 

Warum wurde einfach beim dritten schritt die 81 auf die andere Seite gepackt und oben der Zähler verändert?

Die Brüche werden voneinander subtrahiert. (aus 2 Brüchen oben, wird 1 Bruch oben). 

Dazu bestimmt man den kleinsten gemeinsamen Nenner.

Beispiel:

1/3 - 1/81

= 27/81 - 1/81 = 26/81

Nun ist da neben der 3 noch etwas mit dabei. Wie bei:

1/(3a) - 1/81

= 27/(81a) - 1a/(81a) 

= (27 - 1a)/(81a) 

a kann auch eine Klammer sein. Dann bist du bei der fraglichen Umformung. 

Answer 3

hier die Berechnung mit der h-Methode:

$$ f(x)=\frac { 2 }{3 x^3 }\\ \frac { \Delta y }{  \Delta x}=\frac { f(x+h)-f(x) }{ h }\\=2/3 *\frac { \frac { 1 }{ (x+h)^3 }-\frac { 1 }{ x^3 } }{ h }\\=2/3 *\frac { \frac { x^3 }{ (x+h)^3 x^3 }-\frac { (x+h)^3 }{ (x+h)^3 x^3 } }{ h }\\=2/3 *\frac { \frac { x^3-(x+h)^3 }{ (x-h)^3 x^3 } }{ h }\\=2/3 *\frac { \frac { x^3-(x+h)^3 }{ (x-h)^3 x^3 } }{ h }\\=2/3 *\frac { \frac { h(-h^2-3hx-3x^2) }{ (x-h)^3 x^3 } }{ h }\\=2/3 *\frac { (-h^2-3hx-3x^2) }{ (x-h)^3 x^3 }\to2\frac { (-3x^2) }{ x^3 x^3 }\\=-2\frac { 1 }{ x^4 } $$

Zum Schluss kannst du nun x=3 einsetzen.