dgl 2. Ordnung yp Ansatz. y'' + y = 2x e^x + cos(x)

Question

verstehe nicht wie ich yp aufstellen soll 

Denn das in Farbe geschrieben ist falsch 

Aber ein anderen Ansatz finde ich nicht 

Comments

Deine homogene Lösung ist schon verwurmt!

Wie kommst Du denn dadrauf ?

Answer 1

                  \( \begin{array}{l}y^{''}+y=2 x e^{x}+\cos (x) \\ \rightarrow \text { charakteristische Gl. } \\ k^{2}+1=0 \\ k^{2}=-1 \\ k_{12}= \pm i^{} \\ \rightarrow y_{h}=C_{1} \operatorname{cos}(x)+C_{2} sin({x}) \\ \rightarrow \text { part. Ansatz } \\ 2 x e^{x}: \quad y_{p_{1}}=A e^{x}+B e^{x} \cdot x \\ \text { cos(x) } :  y p_{2}=x(C \cos (x)+D \sin (x)) \\ \rightarrow y_{p}=y_{p1}+y_{p2} \\ y_{p}=A e^{x}+\operatorname{Be}^{x} x+C x \cos (x)+D x sin(x) \\ \rightarrow 2 ma l \text { ableiten, Koeffizientenvergleich } \\ \rightarrow y p=\frac{x}{2} \sin(x)-e^{x}+e^{x} x \\ y=y_{h}+y_{p} \\ \left.y=C_{1} \cos (x)+C_{2} \sin(x\right)+\\ \frac{x}{2}sin(x)-e^x +e^{x} \operatorname{x}  \\\end{array} \)

Answer 2

Hi,

wie von pleindespoir angesprochen stimmt Dein homogener Teil schon nicht.

Es ist x^2+1 = 0 und damit

y_(h) = c*sin(x) + d*cos(x)

Deshalb funktioniert auch Dein partikulärer Ansatz nicht. Hast ja nen Resonanzfall. Nutze

y_(p) = (ax+b)*e^x + p*x*sin(x) +q*x*cos(x)

Wenn ich mich auf die Schnelle nicht vertan habe, kommst Du auf:

y = c*sin(x) + d*cos(x) + e^x*x - e^x + 1/2*x*sin(x)

Grüße