Differentialgleichung 1. Ordnung y' - 3y = 3 e^{x}

Question

ich habe folgende DGL 1. Ordnung mit der Ansatzmethode zu lösen:

\(y' - 3y = 3 e^{x} \) 

Ich bekomme jedoch eine komplett andere und wahrscheinlich falsche Lösung als in den Lösungen heraus.

Für die homogene Lösung bekomme ich:

y_H = \(e^{3x}*C \)

Für die partikuläre Lösung verwende ich den Ansatz: y_p = \(C*x*e^x\)

Für die 1. Ableitung bekomme ich somit yp' = \(C(x*e^x+e^x)\)

Für C ergibt sich somit: C= \(3/(1-2x)\)

Somit ergibt sich für mich als y_p = \(3/(1-2x) * x*e^x\)

Stimmt das bis hierhin überhaupt?

Meine allgemeine Lösung ergibt somit:

y_allg = \(e^{3x}*C+ \frac{3}{1-2x} *x*e^x\)

C berechnet ergibt: C = \( \frac{1+3e}{e^3} \)

Für die spezielle Lösung bekomme ich bei y(1) = 1

y = \(e^{3x}* \frac{1+3e}{e^3} + \frac{3}{1-2x}*x*e^x\)

So laut Lösungen kommt jedoch folgendes heraus:

y = \(3*e^x(x-1)+e^{x-1}\)

Answer 1

Wenn du glaubst, eine Lösung für y zu haben, dann bilde davon die Ableitung y' und berechne aus beiden den Term 
y'-3y. Wenn dabei 3e^x herauskommen sollte, hat du schon mal eine zutreffende Funktion gefunden. So etwas nennt man "Probe" und sollte zunächst ohne Inanspruchnahme fremder Hilfe zu bewältigen sein.

Answer 2

der richtige Ansatz ist y_p=D*x*e^(3x) (aufgrund der Resonanz)

In die DGl einsetzen ergibt

y'=D(e^(3x)+3xe^(3x))=De^(3x)(1+3x)

y'-3y=De^(3x)(1+3x)-3Dxe^(3x)=De^(3x)=! 3e^(3x) → D=3

y_h+y_p=Ce^(3x)+3xe^(3x)

Comments

danke für die Antwort.

Wenn ich nun y_h+y_p=Ce^(3x)+3xe^(3x) mit der Bedingung y(1) = 1 nach C auflöse, kommt folgendes raus:

C= -2 / e^3

Verglichen mit der Lösung somit wieder ein anderes Ergebnis