Potenzieren komplexer Zahlen: (1+cos(π/4) + j sin(π/4))^4

Question

Benötige einen ausführlichen Lösungsweg:

$$ \left( 1 + \cos \frac { \pi } { 4 } + j \sin \frac { \pi } { 4 } \right) ^ { 4 } $$

Gesucht in algebraischer und exponentieller Form!

Answer 1

1 + COS(pi/4) = √2/2 + 1

SIN(pi/4) = √2/2

l = √((√2/2 + 1)^2 + (√2/2)^2) = √(√2 + 2)

α = ATAN((√2/2) / (1 + √2/2)) = pi/8

(1 + COS(pi/4) + i·SIN(pi/4))^4

= (√(√2 + 2)·e^{i·pi/8})^4

= (4·√2 + 6)·e^{i·pi/2}

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(1%2BCOS(pi%2F4)%2Bi%C2%B7SIN(pi%2F4))%5E4

Kannst du das Ergebnis selber in die algebraische Form bringen?

Comments

in algebraischer form schon, aber kann dir nicht ganz folgen. für den Winkel bekomme ich was anderes raus, wenn ich das so eingebe, aber keine phi/8

'l=' verstehe ich nicht so ganz? du teilst die Potenzen auf??

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Steht dein Taschenrechner eventuell im Gradmaß?

Dann ist pi/8 = 180°/8 = 22.5°

l ist nach dem Phythagoras der Abstand der komplexen Zahl vom Ursprung.

Der Betrag einer komplexen Zahl berechnet sich nach der Formel:

|a + b*i| = √(a^2 + b^2)

Answer 2

1 + cos(pi/4) + j * sin ( pi/4) =   1/2  * ( 2 + √2  +  j* √2   )

Also ist das ganze hoch 4

= 1/16  * (   ( 2 + √2 )⁴  +  4 * ( 2 + √2 )³  *  j* √2   +  6 * ( 2 + √2 )²  *(  j* √2 )²    + 4 * ( 2 + √2 )  *(  j* √2 )³  + (  j* √2 )⁴ )


= 1/16  * (  68+48√2  +  4 * ( 20 + 14√2 ) *  j* √2   +  6 * (6 + 4√2 ) *( -2 )    + 4 * ( 2 + √2 )  *j* (-2√2 ) + 4)

= 1/16  * (  68+48√2  +   80j√2  + 112j    - 72  - 48√2    -16√2 j  - 16j   + 4 )

= ( 6 + 4√2 ) * j

Exponentiell deutlich einfacher.

Comments

wie kommst du denn auf den radius von 0,5 und dann auf 1/16?

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1 + cos(pi/4) + j * sin ( pi/4)

=   1 + √2 / 2   +  j* √2 /2   und dann 1/2 ausgeklammert !

=   1/2  * ( 2 + √2  +  j* √2   )