Palmölproduktion bei gleichbleibender Steigerungsrate

Question

Palmöl wird vor allem in der Nahrungsmittelindustrie und zur Herstellung von Kosmetik verwendet. Anfang 1984 (t=0) betrug die Anbaufläche 3.8 Millionen Hektar. Der jährliche Ertrag einer Palmölplantage beträgt im Durchschnitt 4.1 Tonnen pro Hektar. Da die Nachfrage in den letzten Jahrzehnten stark angestiegen ist, wurden am Ende jeden Jahres 6% der bereits bestehenden Anbauflächen für zusätzliche Plantagen freigegeben.

Wie viel Palmöl (in Millionen Tonnen) wurde bis zum Beginn des 1. Quartals 2010 produziert?

Ich habe 3,8*4,1*1,06^t
und wenn ich jetzt richtig Integriert habe sollte (3,8*4,1*1,06^26)/(ln1,06) - (3,8*4,1*1,06^0)/(ln1,06) = 931,446die Lösung sein richtig ist aber 921.66

Answer 1

Du hast ein diskretes Problem und kein stetiges. Die Anbaufläche wird nur einmal jährlich um 6% erhöht. Damit rechnet man:

4.1·∑(3.8·1.06^k, k, 0, 2010 - 1984 - 1) = 921.6564427

Schau auch unter den anderen Palmölaufgaben.

https://www.mathelounge.de/tag/palm%C3%B6l

Answer 2

> wenn ich jetzt richtig Integriert habe

Integrieren ist der falsche Ansatz, weil die Fläche nicht kontinuierlich erhöht wird, sondern zum Ende des Jahres.

Berechne \(\sum_0^{25} 3,8\cdot 4,1\cdot 1,06^t\)

Answer 3

Wenn du integrierst, betrachtest du ja eine kontinuierlicheÄnderung. Hier heißt es aber:  Immer zum Jahresende wird(sozusagen schlagartig ) die Fläche vergrößert.Also hast du die Erträge ( in Mio t )in 1984  3,8*4,1
in 1985  3,8*4,1*1,06
in 1986  3,8*4,1*1,06² 
.....
in 2009  3,8*4,1*1,06²⁵Das gibt zusammen:
3,8*4,1 * ( 1 + 1,06 + 1,06² + ..... 1,06²⁵ )und mit der Formel für die geometrische Reihe3,8*4,1 * ( 1,06²⁶ - 1 ) / ( 1,06 - 1 ) = 921,66