Konvergenzradius der Potenzreihe ∑ (n! / n^n ) * x^n

Question

meine Lösung unterscheidet sich mal wieder von der Musterlösung...

- ges. ist Konvergenzradius der Potenzreihe ∑ (n! / n^n ) * x^n

- mein a_n = (n! / n^n )

Durch Abschätzen weiß ich, dass Lim n → ∞ a_n

= Lim n → ∞ (n! / n^n ) ≤ Lim n → ∞ ( (1/n)*(n/n)^{n-1} )

= Lim n → ∞ (1/n) = 0 daher r = ∞

Ist das soweit richtig? (Musterlösung sagt r = e)

Answer 1

die Abschätzung ist schön und richtig, nützt aber für die Berechnung des Konvergenzradius erstmal nichts.

Hier steht, wie man den Konvergenzradius berechnen kann:

https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius#Bestimmung_des_Konvergenzradius

Machen wir das einmal:

$$ r=\lim_{n\to\infty}|\frac { { a }_{ n } }{ { a }_{ n+1 } }|\\=\lim_{n\to\infty}\frac { n!(n+1)^{n+1} }{ n^n(n+1)! }\\=\lim_{n\to\infty}\frac { (n+1)^{n+1} }{ n^n(n+1) }\\=\lim_{n\to\infty}(\frac { (n+1) }{ n })^n\\=\lim_{n\to\infty}(1+1/n)^n=e $$

Comments

hey,

danke für die Hilfe. Ich hatte es zuerst mit der normalen Formel von Cauchy-Hadamard versucht, wurde aber schnell zu schwierig.

Ich habe es mit der anderen Formel jetzt auch nochmal gerechnet und kam am Ende auch auf  Lim (1+1/n)^n 1+1/n