Konvergenzradius ausrechnen von ∑ k! z^k

Question

Hey zusammen! :)

Zu folgender Aufgabe habe ich eine Frage:

Bis jetzt habe ich die Lösung komplett verstanden, allerdings wurde mit dem Ansatz hier gerechnet

Wieso wurde hier das Quotientenkriterium angewendet?

:)

Comments

Wieso wurde hier das Quotientenkriterium angewendet?

Wenn Du sagen wuerdest, was Dich daran stoert und was Du stattdessen erwartet hattest, waere Deine Frage gehaltvoller.

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Natürlich! :)

Also ich hab bis jetzt immer gelernt gehabt, dass das Quotientenkriterium nur dann angewendet wird, wenn ein Bruch zu sehen ist. Ich verstehe nun jetzt den gedanklichen Sprung von 'es gilt z ungleich 0' und der Anwendung des Kriteriums nicht

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Dann hast Du was ganz falsches gelernt. Das Quotientenkriterium ist für Reihen der Form \(\sum \alpha_n\). Ein Quotient \(|\alpha_{n+1}/\alpha_n|\) steht nur im Kriterium, nicht in der Reihe.

https://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenkriterium

Answer 1

Das Qoutientenkriterium kannst du bei jeder Reihe anzuwenden versuchen.

Es gibt nur nicht immer eine Antwort auf die Frage nach dem Konvergenzradius,

weil sich der entstehende Term manchmal schlecht abschätzen lässt.

Answer 2

stell dir vor, da steht erstmal z=1 .  dann hast du die Reihe über k!. Da sieht man schon, dass es keine Nullfolge bildet und für diesen Spezialfall nicht konvergiert.

Es muss also |z|<1 sein, damit die Reihe eventuell  konvergieren kann. Man nutzt daher das Quotienten Kriterium um die Konvergenz der Reihe zu prüfen, weil sich dann einiges bei der Betrachtung kürzt. Den Fall z=0 betrachtet man separat, weil dann die Reihe ja einfach 0 ergibt.