Partielle Integration Typ Phönix

Question

Ich habe folgedes Integrall vor mir:

$$\int { { e }^{ -cx } } \ast sin(bx)$$

Ich habe zweimal hintereinander partiell integriert und folgende Form erhalten.

$${ \int { { e }^{ -cx } } \ast sin(bx) }=-\frac { { e }^{ -cx }sin(bx) }{ c } -\frac { b{ e }^{ -cx }cos(bx) }{ { c }^{ 2 } } -\frac { { b }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } { \int { { e }^{ -cx } } \ast sin(bx) }$$

Als Ergebnis bekomme ich folgeden Vorschlag:

$$\frac { { -ce }^{ -cx }sin(bx)-b{ e }^{ -cx }cos(bx) }{ { c }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } $$

Ich komme aber nicht auf die letzten Umformungen 

Answer 1

Hallo Struganof,

ich schreibe das Ausgangsintegral als  ∫  und gehe von deinem Ergebnis aus:

 ∫  =  - e^-cx * sin(bx) / c  - b * e^-cx * cos(bx) / c²   -   b² / c² * ∫          |  +   b² / c² * ∫ 

 b² / c² * ∫  +  ∫  =   - e^-cx * sin(bx) / c   -  b * e^-cx * cos(bx) / c² 

     links  ∫  ausklammern:

(b² / c²  + 1) * ∫  =   - e^-cx * sin(bx) / c  -  b * e^-cx * cos(bx) / c²       |  : (b² / c²  + 1)   

     das auf einen Bruch bringen und dann Gleichung mit dem Kehrwert multiplizieren:   

∫  =  [ - e^-cx * sin(bx) / c  - b * e^-cx * cos(bx) / c² ]  * c² / (b² + c²)  

     c² in die  [...]  multiplizieren und dort kürzen: 

∫  =  [ - c * e^-cx * sin(bx)  - b * e^-cx * cos(bx) ] / (b² + c²)  

Gruß Wolfgang