Warum sind im Bogenmaß 360 Grad = 2 PI

Question

mir ist klar das der Umfang eines Kreises mittels U=2PI*r berechnet wird. Im Einheitskreis also U=2Pi. Und man sagt 2PI entsprechen deshalb 360 Grad.

Würde man einen Kreis mit dem Radius zwei wählen, dann wäre der Umfang ja 4 PI. Und man könnte sicher auch behaupten dann setze ich 360 Grad entsprechend 4 PI. Wieso hat man sich also entschieden die 360 Grad am Einheitskreis zu definieren mit 2 PI und nicht an einem anderen Kreis? Ob nun 360 Grad mit 2PI am Einheitskreis definiert werden oder mit 4Pi am Kreis mit r=2 scheint ja zunächst willkürlich zu sein.

Answer 1

Hi,

Du sagst doch selbst, dass U = 2πr ist. Du hast also eine Proportionalität zu r. Der Vollwinkel ist dann natürlich 2π.

Aber ja, das Bogenmaß ist über den Einheitskreis definiert.

"Der Radiant (Einheitenzeichen: rad) ist ein Winkelmaß, bei dem der Winkel durch die Länge des entsprechenden Kreisbogens im Einheitskreis angegeben wird."

- Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Radiant_(Einheit)

Grüße

Answer 2

Für den Kreis gilt
U = 2 * π * r

Für einen Winkel von z.B. 60 ° wäre der Teilumfang

U ( 60 ) = ( 60 / 360 ) * 2 * π * r
U ( 60 ) = 1 / 6  * 2 * π * r

Der volle Umfang ist
U ( 360 ) = ( 360 / 360 ) * 2 * π * r
U ( 360 ) = 1  * 2 * π * r

Nun fasst man  ( 1 / 6  * 2 * π ) oder
( 1  * 2 * π ) zum sogenannten Bogenmass
zusammen.

Der Umrechnungsfaktor von Winkel alpha
zum Bogenmaß ist
Bogenmaß = ( Winkel alpha / 360 ) * 2 * π

Dies Bogenmaß gilt nun für jeden Winkel alpha
egal wie groß r ist.

Analogie zum Tangens eines Winkels
tan ( alpha ) = Gegenkathete / Ankathete
Diese Beziehung gilt für jeden Winkel alpha
egal wie groß das Dreieck ist.