Ermittle eine Gleichung des Kreises...und Gerade g: x + 7y = 18 berührt?

Question

bitte hilfe

Ermittle eine Gleichung des Kreises, der durch den punkt A ( 10/-6) geht und die Gerade g : x+7y=18 in P (4/p2) (auf gerade) berührt !

wie soll ich vorgehen?

Ich hoffe jemand kann mir helfen !! Danke

Comments

EDIT: Vgl. auch die Rubrik "ähnliche Fragen". Bsp. https://www.mathelounge.de/426493/ermittle-eine-gleichung-kreises-mittelpunkt-gerade-beruhrt

Anmerkung: Habe keine Einwände zur vorhandenen Rechnung von wächter, kann aber sein, dass Vektoren gerade noch etwas neu sind. Radien stehen sehkrecht auf Tangenten an den Kreis. Da ist jeweils das Skalarprodukt 0. 

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Sag Bescheid, wenn du die Lösung ohne Verwendung von Vektoren benötigst.

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ja ich bräuchte sie ! danke !

Answer 1

über die Gerade g erhältst Du den Punkt P(4,2).

g ist Tangente in P die senkrechte Gerade dazu geht durch den Mittelpunkt (m1,m2) und ergibt:

\((7, -1) ((m1, m2) - (4,2)) = 0\)

Das und die beiden Punkte A und P in die allgemeine Kreisgleichung einsetzen ergibt ein GLS:

\(((10,-6)-(m1,m2))^2-r^2 =0\)

\(((4,2)-(m1,m2))^2-r^2 =0\)

Die Lösung lautet auf

\(\mathbf{ \left\{  \left\{ m1 = 3, m2 = -5, r = -5 \; \sqrt{2} \right\} ,  \left\{ m1 = 3, m2 = -5, r = 5 \; \sqrt{2} \right\}  \right\} }\)

Alles klar?

Comments

ich verstehe nicht ganz, wozu man den punkt (7/-1) braucht ? wo verwende ich ihn ??

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(7,-1) ist kein Punkt, sondern der senkrechte Normalenvektor zum Normalenvektor (1,7) der Geraden g

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und wo setze ich ihn ein ?  

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und wieso - (4,2)

bin gerade echt verwirrt !

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Wie bestimmst Du eine zu g senkrechte Gerade durch P?

Eine schreibweise für Geraden lautet auf \(  \binom{n_1}{n_2} (\binom{x}{y} -P) = 0  \) wobei (n1,n2) der Normalenvektor der Geraden ist und P ein Punkt auf der Geraden.

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@bg11

vielleicht sollten wir mal klären, ob ihr solche Aufgaben in der Ebene überhaupt mit Vektorrechnung bearbeitet?

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eigentlich schon , aber die Schreibweise die wächter verstehe ich nicht ganz.

Kannst du es mal versuchen?

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Sagt dir der Begriff "Normalengleichung einer Geraden" etwas?

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ja , n mal (x,y) und n mal einen punkt

dann bekommt man die normalgleichung oder? aber wozu hilft es hier ?

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Ich schreibe Vektoren in der Zeilenschreibweise [x,y]

Gerade g:   x + 7y = 18     ⇔  y = - 1/7 x  + 18/7  geht durch P(4 | p₂)

x = 4 einsetzen ergibt den y-Wert  14/7 = 2     →   P(4|2)

g hat die Normalengleichung   [1,7] * [x,y] - 18 = 0

Auf der Senkrechten s zu g durch P liegt der Kreismittelpunkt M(m₁|m₂)

s hat den Normalenvektor  [7,-1] , weil das Skalarprodukt zum NV von g = 0 sein muss.

s:   [7,-1] * ( [x,y] - [4,2] ] = 0

Wenn man jetzt M(m₁|m₂)  in s einsetzt,  hat man

[7,-1] * ( [m₁, m₂] - [4,2] ) = 0

und damit die erste Gleichung von Wächter.

Seine beiden anderen Gleichungen ergeben sich durch Einsetzen von A und P in die vektorielle Kreisgleichung  ( [x,y] - [m₁ , m₂] ) ² = r²

Damit hast du ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten. Das musst du lösen.

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Ich selbst würde hier aber ohne Vektoren vorgehen.

vgl. die Antworten von Mathecoach , Koffi  und meine Antwort

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Vielen Dank für die Beihilfe...

Jetzt haben wir ja fast alle Möglichkeiten durch - hoffentlich ist was für bg11 dabei?

Answer 2

x + 7·y = 18 --> y = 18/7 - 1/7·x

y(4) = 18/7 - 1/7·4 = 2 --> P(4|2)

y = 7·(x - 4) + 2 = 7·x - 26

(x - 4)^2 + (7·x - 26 - 2)^2 = (x - 10)^2 + (7·x - 26 + 6)^2 --> x = 3

y(3) = 7·3 - 26 = -5 --> M(3|-5)

((3) - 4)^2 + (7·3 - 26 - 2)^2 = 50

K: (x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 50

~plot~ 18/7-1/7*x;{10|-6};-5+sqrt(-x^2 + 6*x+41);-5-sqrt(-x^2 + 6*x+41);[[-18|18|-13|13]] ~plot~

Answer 3

Wir haben 2 Punkte, (10/-6) und (4/2). Die Tangente hat die Gleichung y=-1/7x+18/7. Der Mittelpunkt des Kreises muss auf der geraden liegen, die senkrecht auf der Tangente steht. Die Steigung dieser gerade ist das inverse reziprok der tangentensteigung, also

m2=-1/m1=-1/(-1/7)=7

Mit Hilfe der punktsteigungsform bekommen wir die gerade auf der der kreismittelpunkt liegen muss.

y=7(x-4)+2=7x-26

Die allgemeine kreisgleichung ist

(x-xm)^2+(y-ym)^2=r^2

Für ym setzen wir nun die geradengleichung der geraden ein, auf der der Mittelpunkt liegen muss.

(x-xm)^2+(y-7xm+26)^2=r^2

Wir setzen nun die beiden Punkte die wir haben in die kreisgleichung ein

(1) (10-xm)^2+(-7xm+20)^2=r^2

(2) (4-xm)^2+(-7xm+28)^2=r^2

Diese beiden Gleichungen ausmultiplizieren (mit den binomischen formeln) und mit dem additionsverfahren das r^2 eliminieren. Man erhält

-100xm+300=0

xm=3

Einsetzen in die geradengleichung der geraden auf der der Mittelpunkt liegen muss ergibt

ym=7*3-26=-5

Einsetzen in (1) oder (2) bringt r^2=50 damit erhalten wir

(x-3)^2+(y+5)^2=50

Answer 4

Hallo ib,

den Mittelpunkt des Kreises  (x - x_M)² + (y - y_M)² =  r²  kann man auch finden, ohne die Kreisgleichung zu benutzen:

P(4|2)  durch Einsetzen von x=4 in die Gerade.

1)  Bestimme den Mittelpunkt R = ( (x_A+ x_P) / 2 | (y_A + y_P) / 2 )  der Strecke AP

     und die Steigung  m = (y_A - y_P) / (x_A - x_P)  der Geraden AP

2)  Bestimme die Gleichung der Mittelsenkrechten durch R mit der Steigung  -1/m     #

3)  g :   y = -1/7 x + 18/7  →  Steigung der zu g senkrechten Gerade MP = 7               #

4)  Mittelsenkrechte und Gerade MP schneiden sich im Kreismittelpunkt  M

5)  Der Kreisradius  ergibt sich dann durch Einsetzen der Koordinaten von A (oder P)  in      die Kreisgleichung.

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#

Die Gerade durch einen Punkt P( x_p | y_p ) mit der Steigung m hat die Gleichung

y = m • ( x - x_p ) + y_p            [ Punkt-Steigungs-Formel ]   

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Gruß Wolfgang