Teil 1.
Ich habe folgende Gleichung vor mir
$$\left| z+1-i \right| =2$$
und soll nun bestimmen welche Kurve die Funktion in der komplexen Zahlenebene darstelt.
Die Komplexen Zahlen kann man ja sozusagen als "Vektoren " in der Gaußschen Zahlenebe betrachten kann also habe ich die Gleichung so dargestellt:
$$\left| z-(-1+i) \right| =2$$
So betrachtet würden die komplexen Zahlen ja einen Verbindungsvektor bilden und der Betrag würde dann dem Abstand der beiden Zahlen angeben. Somit erüllt ja jede komplexe Zahl z die Gleichung die den Abstand 2 zu -1+i hat.
Grafisch würde das ja einem Kreis entsprechen mit dem r=2 und M(-1,1)
Um das Mathematisch zu beschreiben bin ich so vorgegangen:
$$\left| z+1-i \right| =2$$
z=x+yi
$$\left| x+yi+1-i) \right| =2\\ \\ \left| x+1+yi-i) \right| =2\\ \\ { \left( x+1 \right) }^{ 2 }+{ \left( y-1 \right) }^{ 2 }=4\\ $$
Jetzt zu meiner Frage sind meine Überlegungen soweit Richtig ? Das Ergebnis habe ich jetzt ja auf einer x,y-Ebene kann ich das ohne weiters auf die Gaußsche Zahlenebe übertragen?
Teil 2
Substituieren Sie z in der obigen Kurvengleichung durch die neue Variable:
$$ w=\frac { 1 }{ z+i+1 } $$
nach z umgestellt
$$z=\frac { 1 }{ w } -(i+1)$$
In die Ursprungsfunktion eingesetzt.
$$\left| \left( \frac { 1 }{ w } -(i+1) \right) +1-i \right| =2$$
Ab hier bekomme ich nichts Sinnvolles mehr raus
