Stellen Sie eine Gerade k auf, die die Gerade g in genau einem Punkt schneidet.

Question

Aufgabenstellung:

Zu c hatte ich spontan gedacht, da man den Punkt A kennt, könnte man entweder diesen oder den Ortsvektor von g als Ortsvektor von k nehmen und dann irgendeinen beliebigen Richtungsvektor wählen (der natürlich nicht gleich oder ein vielfaches des Richtungsvektors von g ist). Aber wenn ich zur Kontrolle g und verschiedene Überlegungen zu k gleichsetze und eine Rangbestimmung mache, kommt als Ergebnis immer 

1	0	1
0	1	0
0	0	0

heraus. Damit kann ich irgendwie nichts anfangen. Ist das so jetzt richtig, oder stimmt da irgendetwas nicht? Es sind ja eindeutige Werte herausgekommen (r=1 und t=0), aber bisher haben wir immer gesagt, wenn Rg(A)=2=Rg(A_erw.), dann gibt es einen Schnittpunkt und hier kommt ja Rg(A)=2>1=Rg(A_erw.) heraus.

Kann mir da jemand helfen? Ist meine Überlegung falsch und falls ja warum?

Answer 1

Jede Gerade, die nicht parallel zu g ist, schneidet g in genau einem Punkt. Du musst alls nur darauf achten, dass der Richungsvektor kein k-Faches von (1,-1,1) ist.

Comments

Aber Geraden können doch auch windschief zueinander sein, dann schneiden sie sich auch nicht.

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Ja, du hast recht. Ich hatte an Geraden in der Ebene gedacht. Das war dumm  von mir. Es waren ja bereits dreidimensionale Vektoren gegeben. Wenn es nur um eine Gerade geht und nicht um eine gemeinsame Form aller Geraden mit genau einem gemeinsamen Punkt, dann wähle (-1;0;2) als gemeinsamen Punkt und achte beim Richtungsvektor darauf, dass er nicht kollinear zu (1,-1,1) ist.

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Ja, das habe ich gemacht. Zur Überprüfung habe ich dann g und k gleichgesetzt und eine Rangbestimmung gemacht. Dabei kam dann das oben genannte Ergebnis heraus, was mich stutzig gemacht hat. Bisher hatten wir immer konkreten Werte (z.B. r=3 und t=4 oder so) heraus, wenn zwei Gerade einen Schnittpunkt hatten. Hier kommt jedoch, wie gesagt,

1	0	1
0	1	0
0	0	0

heraus.
So ein Ergebnis hatte ich noch nie.

Wir haben gelernt, die Voraussetzung um festzustellen, dass zwei Geraden einen Schnittpunkt haben ist: Rg(A)=2=Rg(A_erw.) und hier ist es ja Rg(A)=2>1=Rg(A_erw.).

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Gib doch mal die Parametergleichung deiner Lösung für k an.

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ich hab die Überprüfung mit verschiedenen Werten gemacht. Und als Ortsvektor je einen der beiden Punkte genommen, von denen ich weiß, dass sie Bestandteil der Geraden g sind.

Habe zum Beispiel diese Parametergleichungen genommen:

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Das - vor der 0 bitte ignorieren! Keine Ahnung wie das da hin gekommen ist :D

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Alle deine Geraden haben genau einen Punkt mit g gemeisam. Das sieht man doch auch ohne auf den Rang einzugehen. (Das Rang-Kriterium kenne ich allerdings nicht).