4^n modulo 3 = 1 . Wie kann man so eine Modulo-Rechnung beweisen?

Question

Frage steht eig schon im Titel. Wie beweiset man so etwas für alle n aus den Natürlichen zahlen?

Kann man argumentieren, dass 4 im Restklassenkörper 3 kongruent zu 1 ist?

Answer 1

$$ 4^n \equiv 1^n = 1 \mod 3 $$Mehr gibt es da nicht zu beweisen.

PS: Das ist eigentlich, wie ich gerade sehe, genau deine Argumentation!

Answer 2

Man sollte mit 4≡1 mod 3 beginnen, weil dies eine ebenso leicht verständliche wie beweisbare Tatsache darstellt. Sodann wird eine Regel angewendet, die für Gleichungen ebenso gilt, wie für Kongruenzen: 4ⁿ≡1ⁿ  mod 3 (für natürliche Zahlen n). Zum Schluss wird doch die "Rechnung" 1ⁿ=1 durchgeführt.