Integrale mit Hilfe von Treppenfunktionen bestimmen Aufg. b) und c)

Question

Es geht um die Aufgaben b) und c). Ich verstehe noch nicht wie man solche Integrale über eine Treppenfunktion bestimmt. Wäre nett, wenn es jemand für b) vormachen oder detailliert beschreiben könnte, sodass ich es dann vielleicht verstehe und c)allein bestimmen kann 

Answer 1

Hi,

Aufgabe (b)

das Integral kann approximiert werden durch
$$ (1) \quad \frac{b-a}{n} \cdot \sum_{i=0}^n q^{a+\frac{i}{n}(b-a)} = \frac{b-a}{n} \cdot \frac{q^b q^\frac{b}{n} - q^a q^\frac{a}{n} }{q^\frac{b}{n} -q^\frac{a}{n}} $$
Bei (1) musst Du die Formel für die geometrische Reihe anwenden.

Betrachte nun den Ausdruck
$$ (2) \quad \frac{n}{b-a} \cdot \left( q^\frac{b}{n} -q^\frac{a}{n} \right) = \frac{q^\frac{a}{n}}{b-a} \cdot n \cdot \left( q^\frac{b-a}{n} - 1 \right) $$
Entwicklung der rechten Seite von (2) in eine Taylorreihe ergibt
$$  \frac{n}{b-a} \cdot \left( q^\frac{b}{n} -q^\frac{a}{n} \right) = \frac{q^\frac{a}{n}}{b-a} \cdot n \cdot \left( \frac{b-a}{n} \cdot \ln(q) + o\left( \frac{1}{n^2} \right) \right) \to \ln(q)$$
Insgesamt geht (1) also gegen
$$ (4) \quad \frac{q^b-q^a}{\ln(q)} $$

Comments

Hier lautet die Summe
$$ \sum_{i=0}^n \left[ \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{i}{n}} a \right]^s \left[ \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{1}{n}} - 1 \right] \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{i}{n}} a $$
Ausmultiplizieren ergibt
$$ \sum_{i=0}^n \frac{ b^{\frac{i}{n}(s+1)} a^{s+1} }{ a^{\frac{i}{n}(s+1)} } \left[ \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{1}{n}} - 1 \right]  $$
Anwenden der Formel für die Geometrische Reihe ergibt
$$ a^{s+1} \cdot \frac{ \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{1}{n}} - 1 }{ \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{s+1}{n}} - 1 } \cdot \left[ \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{s+1}{n}(n+1)} - 1 \right] $$
Der zweite Faktor ergibt durch Taylorentwicklung und Grenzübergang $$  \frac{1}{s+1} $$ und der dritte Faktor ergibt $$ \left( \frac{b}{a} \right)^{s+1} - 1 $$
Insgesamt ergibt sich somit
$$ \frac{b^{s+1} - a^{s+1}}{s+1} $$