Seien k und m aus IN mit 1 ≤k≤m .
Dann ist ggT(m,k) = 1 genau dann, wenn auch ggT(m-k,k)=1 .
Denn jeder gem Teiler von m und k ist auch einer von m-k und k
und jeder von m-k und k auch ein er non m und k.
Also kann man die Elemente Menge
M = { k ∈ IN | 1 ≤ k≤m ∧ ggT(k,m)=1 }
für m>2 aufteilen in Paare der Art ( k ; m-k ) .
also ist die Anzahl der Elemente gerade.
Für m≤2 ist
φ(1)=1 und φ(2)= 1 also keine Primzahl
und für m>2 gilt:
Wenn also φ(m) eine Primzahl ist, dann ist es die 2.
Also muss man schauen, für welche m dann φ(m)= 2
φ(3)= 2 denn 1 und 2 sind teilerfremd zu 3
φ(4)= 2 denn 1 und 3 sind teilerfremd zu 4
φ(5)> 2 denn 1, 2, 3 , 4 sind teilerfremd zu 5
φ(6)= 2 denn 1 und 5 sind teilerfremd zu 6
φ(7)> 2 denn 1 , 2, 3,4,5,6 sind teilerfremd zu 7
Also sieht man schon: Primzahlen größer 3 fallen raus.
φ(8)> 2 denn 1,3,5,7 sind teilerfremd zu 8
φ(9)>2 denn 1,2,4,8 sind teilerfremd zu 9
φ(10) > 2 denn 1,3,7,9 sind teilerfremd zu 10
Außerdem scheint das φ multiplikativ zu sein.
(Beweis kann man sicher googeln.)
Dann wäre ja alles klar:
Wir haben φ(3)= 2 und φ(4)= 2 und φ(6)= 2
und das sind dann schon alle.
