Lösen von Gleichungssystemen mit Parametern

Question

Nach mehrmaligem Rechnen bin ich an einen Punkt angekommen, an dem ich nicht mehr weiterweiß.

Ein solches LGS habe ich bisher noch nicht lösen müssen. Im Anhang sieht man meinen "Fortschritt".

Answer 1

Hallo Momfred,

Aus der dritten Zeile folgt nach der Division durch \(-2\beta^2 -2\beta +4\) , dass \(z\) (so hieße die dritte Unbekannte) gleich

$$z=\frac{2-2\beta^2}{-2\beta^2 -2\beta +4}=\frac{\beta^2-1}{\beta^2+\beta-2}=\frac{(\beta-1)(\beta+1)}{\beta^2+\beta-2}=\frac{\beta+1}{\beta+2}$$

ist.Anschließend geht es ganz normal weiter. Dividiere die zweite Zeile durch \(\beta-1\) und ziehe die dritte Zeile von der zweiten Zeile ab. usw.

Falls noch Fragen offen sind, so melde Dich bitte.

Comments

Wenn es darum geht herauszufinden, ob das LGS  a) eine Lösung, b) mehr als eine, c)keine Lösung hat, reicht es nicht aus die letzte Zeile zu untersuchen?

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Das ist richtig! Danach hast Du aber auch nicht gefragt.

Natürlich gibt es mit der Operation auf der letzten Zeile für die Werte \(\beta=-2\) und \(\beta=1\) keine eindeutige Lösung mehr. Im ersten Fall hat das LGS keine Lösung, da dort dann \(0=-6\) steht und im zweiten Fall unendlich viele, da für \(\beta=1\) die zweite und dritte Zeile zu \(0=0\) wird.

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Ich kann zwar verstehen, dass wenn man -2 ; 1 einsetzt eindeutig ist,ob die Gleichung keine oder unendlich Lösungen hat, aber wie kommt man auf die Werte -2; 1?

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ich schreibe x=β

dritte Zeile:

z * (- 2·x²  - 2·x + 4) =  1 - x²

Faktorzerlegung:

z * 2·(1 - x)·(x + 2)  =  (1-x) * (1+x)

die ktitischen Werte hat man, wenn links eine Faktor = 0 ist:

x = 1     →  z *  0 =  0  , z beliebig ,  unendlich viele Lösungen

x = - 2    →  z * 0 = - 3    keine Lösung

sonst   eine eindeutige Lösung

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Die Werte sind zwar richtig, aber die Eindeutigkeit, dass es nicht noch andere Lösungen gibt, fehlt.

Gibt es nicht eine Gleichung an deren Ende man genau ablesen kann für welche x Werte welches Ergebnis man erhält?

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Nun ja - das Gleichungssystem lautet doch:

$$2x-y+\beta z = \beta$$

$$(\beta -1)y + (\beta -1)z = 0$$

$$-2(\beta +2)(\beta -1)z = -2(\beta + 1)(\beta -1)$$

Jetzt gilt es, zunächst die Werte von \(\beta\) zu betrachten, bei denen ein Faktor vor einer Unbekannten zu 0 wird.

1.) wenn \(\beta = 1\) wird, wird das LGS zu

$$2x-y+ z = 1; \, 0=0; \, 0=0$$

hier sind unendlich viele Lösungen möglich, die nur die erste Gleichung erfüllen müssen.

2.) wenn \(\beta = -2\) wird, wird das LGS zu

$$2x-y- 2z = -2; \quad -3y + -3z = 0; \quad 0 \cdot z=-6$$

dies ist auf Grund der dritten Gleichung nicht lösbar, somit gibt es hier keine Lösung.

3.) wenn \(\beta\) weder 1 noch -2 ist, kann man durch die Ausdrücke \(\beta-1\) und \(\beta+2\) dividieren. Also erhält man

$$z = \frac{(\beta + 1)}{\beta +2}; \quad y= \frac{-(\beta + 1)}{\beta +2}; \quad x=\frac{-1}{2(\beta +2)}$$

als eindeutige Lösung.

Da \(\beta \in \mathbb{R}\) keine andere Werte außer 1, -2 oder irgendeinen anderen Wert \(\in \mathbb{R}\) annehmen kann, ist damit die Lösung auch vollständig.

Gruß Werner