x^2/y + y^2/x >= x+y, x>0, y>0

Question

es soll bewiesen werden, dass für alle reellen Zahlen x,y mit x>0, y>0 gilt: x^2/y + y^2/x >= x+y.

Bin schon über eine Stunde dran und komme nicht auf die Lösung, bitte um Hilfe.

Answer 1

Hi,

x²/y + y²/x >= x+y   |-x-y

x^2/y + y^2/x - x - y ≥ 0   |*xy

x^3 + y^3 - x^2*y - y^2*x ≥ 0

x^2(x-y) - y^2(x-y) ≥ 0

(x-y)(x^2-y^2) ≥ 0    |Rechts ist dritter Binomi

(x-y)^2*(x+y) ≥ 0

Ersteres ist immer > 0 wegen dem Quadrat und letzteres da zwei positive Summanden addiert werden.

Grüße

Answer 2

Forme

x^2/y + y^2/x - ( x+y)  um zur ersten alternate form hier:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2%2Fy+%2B+y%5E2%2Fx+-+(+x%2By)

In der ersten "alternate form" sind alle Faktoren positiv oder im Fall von x=y Null. Daher ist auch die Behauptung richtig.