LGS lösen, welche reelle Zahl für a?

Question

Wie muss man reelle Zahl a wählen, damit das LGS eine Lösung hat?

x - y + z = 0
3x + 2y + az = 0
2x + 3y - z = 0

Mit Hilfe des Gaußalgorithmus löse ich dann soweit auf dass in Dreiecksform übrig bleibt:

1 -1 1 0
0 5 -3 0
0 0 4a 0

Teile ich an der Stelle 4a=0 durch 4? Wie gehe ich danach weiter vor , um die Aufgabe zu lösen?

MfG

Answer 1

Hallo Borsti,

die letzte Zeile   0 0 4a | 0   entspricht der Gleichung   4a * z = 0 , das ergibt

-   für a ≠ 0    z = 0 und nach Einsetzen  von z  in G2   y = 0  und nach Einsetzen in G1  

    x = 0. Insgesamt ergibt sich also für das LGS die eindeutige Lösung (0,0,0)

-   für  a = 0  ist  z beliebig wählbar und man kann y aus G2 und dann x aus G1 passend 

    dazu ausrechnen. Dann hat man für das LGS  unendlich viele Lösungen  

Gruß Wolfgang

Comments

aaahh. Der Groschen ist gefallen, meine Güte der Schlauch war lang. Vielen Dank euch beiden.

Answer 2

Das System hat für alle a die triviale Lösung: x=0, y=0, z=0.

Comments

Dasselbe sagt die Musterlösung. Aber wie sehe ich das? Wie lässt sich darauf schließen?

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Die letzte Zeile deiner Dreiecksform bedeutet 4az=0, Dann kann entweder a = 0 und z beliebig oder z=0 und a beliebig sein. Nehmen wir an, es sei a=0, dann ist die Summe aus erster und letzter Gleichung gleichbedeutend mit der zweiten Gleichung. Die Gleichungen sind dann abgängig voneinander. Deshalb entscheiden wir uns für z=0 und folgern dann y=0 und x=0.