LGS modellieren, um zweistellige natürliche Zahl zu finden

Question

Aufgabe:

Modellieren Sie das folgende Problem mit einem linearen Gleichungssystem.
Bestimmen Sie die Koeffizientenmatrix, und geben Sie das System in Matrixschreibweise an.

Die Summe der Ziffern einer zweistelligen, natürlichen Zahl beträgt ¨
sieben. Wenn man die beiden Ziffern vertauscht, erhöht sich die Zahl ¨
um 27. Welche Zahl ist gesucht?

Problem/Ansatz:

Leider weiß ich nicht weiter.

Answer 1

Aloha :)

Die 2-stellige Zahl sei \(z=10\cdot x+y\). Dann lauten die beiden Bedinungen mathematisch aufgeschrieben:$$x+y=7$$$$10\cdot y+x=10\cdot x+y+27\quad\Leftrightarrow\quad9x-9y=-27\quad\Leftrightarrow\quad x-y=-3$$Das Gleichungssystem lautet also in Matrixschreibweise:$$\left(\begin{array}{c}1 & 1\\1 & -1\end{array}\right)\binom{x}{y}=\binom{7}{-3}$$Die Lösung dieses Gleichungssystem ist \(x=2,y=5\). Die gesuchte Zahl ist daher \(z=25\).

Comments

Ok, vielen Dank!

Aber wie kommt man auf die 10 in der ersten Zeile deiner Rechnung?

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Die 10 brauchst du, weil die erste Stelle einer 2-stelligen Zahl ja der 10er ist.

$$25 = 10\cdot2+5$$

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Bei einer 2Stelligen Zahl z.B. 12

Ist 1 die Anzahl der Zehner und 2 die Anzahl der Einer. Es gilt daher

12 = 1 * 10 + 2 * 1

Hat man die beiden Ziffern x und y gilt

"xy" = x * 10 + y * 1 oder auch 10x + y

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Ok, das klingt logisch. Vielen Dank Eich beiden!