Stetigkeit überprüfen mit Beweis

Question

Gegeben sei eine Funktion p: ℝ-->ℝ.

Beweisen oder widerlegen Sie:

1. p stetig --> |p| stetig

2. |p| stetig--> p stetig

3. p ist stetig an einer Stelle x ∈ ℝ und es ist p(X) >0. Dann gibt es eine offene Umgebung U von x, so dass p eingeschränkt auf U positiv ist.

zu 1. Die Aussage ist richtig, da die Betragsfunktion stetig ist.

zu 2. und 3. weiß ich leider nicht genau wie ich das beweisen soll. Bei 2. hätte ich gesagt dass die Aussage falsch ist ich weiß aber nicht wie ich beim beweis vorgehen muss.

Answer 1

2 ist falsch, weil z.B.

f(x) =   1 für x≤0   und  f(x) = -1 für x>0 bei

x=0 nicht stetig ist,  |f| aber doch.

3.  Sei a (nehme ich mal statt x ) und p(a) > 0 und p stetig in a.

Wähle  eps = p(a) /2 ; Das ist wegen p(a) > 0 auch gößer als 0.

Dann gibt es lt. Stetigkeitsdefinition ein δ > 0 mit

| a-x| < δ  ==>   | p(a) - p(x) | < eps

also  p(a) - eps < p(x) < p(a) + eps

also p(x) > 0 für alle x aus der Delta - Umgebung von a.

q.e.d.