Question

Stimmen die Gleichungen für die Asymptoten?

f(x)=(x³-x²+2x-2) / (x-1), x ungleich 1

A(x)=x²+2?

(2x²-x+2) / (x-1), x ungleich 1

A(x)=2x+1 oder A(x)=2x?

Comments

Vergiss die vertikalen Asymptoten mit der Gleichung x=1 nicht (vorausgesetzt, dass x=1 keine Nullstelle des Zählers ist).

~plot~ x=1 ~plot~ 

Das hier kann auch vorkommen:

~plot~ x=1; ((x+2)(x-3))/((x-1)(x+3)); 1; x=-3 ~plot~ 

Horizontale Asymptote y = 1 und vertikale Asymptoten x=-3 und x=1 . 

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Um welcher Funktionsgleichung geht es denn hier?

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Hallo Lu,

dein Beispiel ist sicher halb hypothetisch
gemeint ?

x = 1 ist auch Asymptote. Aber sonst
sieht der Graph so aus

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@probe:

Zuerst um die beiden, die du angegeben hattest. Die solltest du beide noch anschauen. Vermutlich ist nur bei der zweiten eine vertikale Asymptote vorhanden.

und dann um ein Beispliel mit Zählergrad = Nennergrad, das eine horizontale und zwei vertikale Asymptoten hat.

f(x) = ((x+2)(x-3))/((x-1)(x+3))         | Klammern oben und unten aufgelöst:

= (x^2 -x -6)/(x^2 + 2x - 3) 

@georgborn: Ich habe unten gesehen, dass Probe unten irgendwelche "halballgemeingültigen" Behauptungen in der Raum gestellt hat und darauf reagiert.

Answer 1

Hallo Probe,

A(x)=x²+2  und  A(x)=2x+1  sind richtig

Das sind die ganzrationalen Anteile, die sich bei der jeweiligen Polynomdivision ergeben.

Gruß Wolfgang

Comments

Zählergrad > Nennergrad

Ein Polynom vom Grad > gleich 0 ist Asymptote von f.

Was meint man damit?

Es geht um:

f(x)=(x²-x+1) / (x-1)

f(x)= x+ (1) / (x-1)

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 (x²-x+1) / (x-1 )  hat A(x) = x   mit dem Grad 1 (= höchster Exponent bei x)

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Es geht aber glaube ich um:

Zählergrad > Nennergrad

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f(x)=(x²-x+1) / (x-1)

f(x)= x+ (1) / (x-1) --> das bekommt man denke ich durch Polynomdivision

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Zählergrad > Nennergrad

Ein Polynom vom Grad > 0 ist Asymptote von f.

(x²-x+1) / (x-1 )  hat A(x) = x   mit dem Grad 1 (= höchster Exponent bei x)

Zählergrad 2 > Nennergrad 1  →  Grad von A(x) = 1 ist  > 0  

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Bei mir steht größer gleich 0..., das heißt der Grad darf auch 0 sein??

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Zählergrad > Nennergrad

Ein Polynom vom Grad > gleich 0 ist Asymptote von f.

Ein Polynom vom Grad  > 0 ist Asymptote von f 

wäre hier richtig

bei Zählergrad ≤ Nennergrad ist die Asymptote  y = Konstante, also eine waagrechte Gerade, das ist ein Polynom mit dem Grad 0  (außer bei y = 0, vgl. letzte Kommentare)

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Das stimmt oder:
Ein Polynom vom Grad  > 0 ist Asymptote von f 

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Zählergrad > Nennergrad 

→   Ein Polynom vom Grad  > 0 ist Asymptote von f 

ist richtig.

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bei Zählergrad ≤ Nennergrad ist die Asymptote  y = Konstante, also eine waagrechte Gerade, das ist ein Polynom mit dem Grad 0 .

Wieso steht hier Zählergrad kleiner gleich Nennergrad?
Zählergrad ≤ Nennergrad

Es ist doch eigentlich nur Zählergrad kleiner als Nennergrad?

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Bei ZG < NG   ist die Asymptote  die x-Achse y=0

(Zum Grad vgl Kommentare ganz unten, ist aber für deine Zwecke nicht wichtig),

bei ZG = NG   ist es  y = k  mit k≠0 , also eine echte Parallele zur x-Achse.  (Grad 0)

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mach ich immer noch gern :-)

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-Wolfgang- schrieb:
Bei ZG < NG ist die Asymptote die x-Achse y=0 (Grad 0).

Der Nullfunktion wird m. E. nicht der Grad 0 zugeordnet.

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https://de.wikipedia.org/wiki/Polynom#Polynome_in_der_elementaren_Algebra 

gibt MINUS unendlich als Definition des Grades der Nullfunktion an.

Gemäss

https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial#Definition

ist der Grad des "zero polynomial" entweder explizit nicht definiert oder MINUS unendlich oder MINUS 1.

Es gibt da bestimmt noch andere Definitionen.

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Danke für den Hinweis. War mir momentan entfallen.

Das mag daran liegen, dass ich irgendwie auch keinen logischen Unterschied zwischen 0 * x⁰  und  5 * x⁰  erkennen kann.

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"Du kannst den Grad am höchsten Exponenten von x ablesen, wobei Koeffizienten a_(k) = 0 nicht zu berücksichtigen sind, sagt man z.B.  "

Da gibt es bei f(x) = 0 ein Problem.

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Du hast auch auf alles eine überzeugende Antwort :-)

Und diese ist sehr überzeugend. Sonst wäre ja beim Grad nach oben alles offen.

Widerspricht dann aber auch dem Grad -1.

Aber allein die Tatsache, dass es keine einheitliche Definition gibt, macht eigentlich jede Diskussion irgendwie sinnlos.

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Haha, richtig!

Wenn es nicht definiert ist, lässt man es besser undefiniert oder legt es für ein paar Tage und/oder Aufgaben irgendwie fest. Das sollte man dann aber auch immer hinschreiben. (Eigenwillige/vorübergehende Definitionen können auch mal ein spezifisches Bundesland und dessen Schulbücher für eine bestimmte Klasse betreffen)

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Im Grund kann man das hier als Grad 0 ansehen oder nicht? y=0 ist doch Grad 0 oder?

bei Zählergrad ≤ Nennergrad ist die Asymptote  y = Konstante, also eine waagrechte Gerade, das ist ein Polynom mit dem Grad 0  (außer bei y = 0, vgl. letzte Kommentare)

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@probe: Bei y=0 solltest du nicht von einem bestimmten Grad sprechen, ausser du sagst jedes Mal dazu: Ich definiere in meiner Terminologie "Der Grad von y=0 ist 0." (Fazit der ganzen theoretischen Diskussion oben)

Grund: Du kannst nicht wissen, ob y= 0*x^0 oder z.B. y=  0*x^10 + 0*x^3 .

Und y = 0*x^3 + 2*x^2 + 3 hat ja den Grad 2. (HIer bist du sicher einverstanden)

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Polynomdivison für f(x)=(4x-4) / x² ergibt f(x)=0+(4x-4)/(x²)

Dann weiß ich doch, dass der Grad bei 0 0 ist oder nicht? Die Polynomdivision ergibt doch nicht 0*x⁵...

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@probe: Es geht schon lange nicht mehr um die beiden Funktionen in der Überschrift sondern um irgendwelche Verallgemeinerungen. Oder?

Schreib am besten eine neue Frage mit einer Zusammenfassung deiner Verallgemeinerungen. Was du verstehst- nicht verstehst - ändern möchtest.

So haben auch andere die Möglichkeit hier zu antworten.

Dein aktuelles Beispiel

f(x)=0+(4x-4)/(x²)

hat die horizontale Asymptote y = 0 und die vertikale Asymptote x = 0. 

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Hallo Probe,

die ganze Diskussion ist "ausgeufert". Ich fasse mal zusammen, um was es eigentlich ging:

Wir reden von gebrochen rationalen Funktionen  f(x) = Z(x) / N(x), wobei Zähler Z(x) und Nenner N(x) Polynome sind, bei denen jeweils der höchste Exponent der vorkommenden         x-Potenzen den Grad des Polynoms angibt. Ein konstante Zahl k hat wegen k = k * x⁰             den Grad 0.  (k ist dabei nicht 0, denn dann würde es ja gar nicht dastehen.)

Wenn das Polynom im Zähler eine konstante Zahl k≠0 ist,  ist der Zählergrad wegen                     k = k *x⁰ gleich 0. Wenn N(x) eine konstante Zahl ≠ 0 ist, ist f(x) einfach eine Polynomfunktion.

Zählergrad > Nennergrad

   Ein Polynom vom Grad >  0 ist Asymptote von f. 

                    ( z.B. A(x) = 5x² + x  ,  A(x) = 2x + 5  .... )

Zählergrad = Nennergrad

   Ein Polynom vom Grad = 0 ist Asymptote von f. 

                    ( z.B. A(x) = 5  ,  A(x) = - 2  .... )

   A(x) ist also eine echte Parallele zur x-Achse mit der Gleichung  A(x) = k   (k≠0)

Zählergrad <  Nennergrad 

     A(x) ist die x-Achse mit der Gleichung  A(x) = 0

Hier hatte ich fälschlich geschrieben, der Grad sei 0

Das scheint zwar naheliegend, führt aber mathematisch zu Widersprüchen.

Deswegen kann man der Gerade y=0 nicht eindeutig einen Grad zuordnen.

Aber letztlich ist das für die Bestimmung der Asymptotenfunktion A(x) auch nicht wichtig.

Gruß Wolfgang

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