Na also; Lu hat doch ein schönes Beispiel. Die Hyperbel
1 - x
f ( x ) = - --------------- ( 1 )
x + 2
Es gibt bestimmte Normalformen; für die Asymptotik und um Ableitungen zu bilden, empfiehlt sich immer Polynomdivision ( PD ) Machen wir also eine Nebenrechnung auf.
x - 1 x + 2 3 3
------------ = ------------ - ------------ = 1 - ----------- ( 2a )
x + 2 x + 2 x + 2 x + 2
und damit in ( 1 )
3
f ( x ) = -------------- - 1 ( 2b )
x + 2
Ich gebe dir jetzt, was du brauchst: das Kochrezept, um eine Asymptote zu berechnen. Gehen wir aus von dem Sonderfall, der für dich am Wichtigsten ist: gebrochen rationale Funktionen ( GRF ) so wie hier. Solltest du noch andere Funktionsklassen erheischen, lass es mich wissen. Du machst also immer diese PD ; das kann ich dir leider nicht ersparen. Aber in PD seid ihr Schüler ja einsame Spitze; da freu ich mich ja auch echt drüber.
Die Asymptote hat etwas damit zu tun, wie sich die GRF im Unendlichen verhält; Fallunterscheidung
1) Nennergrad > Zählergrad ===> Die Funktion verebbt bei Null; sie schmiegt sich an die Abszisse an ( ist also von Vorn herein klar ) Dann sagst du, " Ihre Asymptote ist die Abszisse "
2) Zählergrad = Nennergrad Der ganz rationale Teil, den du nach der PD zurück behältst, ist eine c - Zahl c = const < > 0 ( " Polynom nullten Grades " ) Also eine Parallele im Abstand c zur Abszisse; das wird jetzt deine Asymptote.
3) Zählergrad - Nennergrad = 1 . Jetzt stellt der ganz rationale Anteil eine Geradengleichung dar; genau das gibt deine Asymptote .
4) Zählergrad - Nennergrad = n > 1 . Nach allem, was ich so höre, scheinen sich da sogar die Lehrer uneins zu sein. Tatsache ist mit Sicherheit, dass der ganz rationale Teil, also das Polynom n-ten Grades, das du jetzt heraus bekommst, sich asymptotisch an die GRF anschmiegt; es lässt sich jedoch auch einsehen, dass es eine Asymptote in Form einer Geraden nicbt mehr gibt.
Am Besten du fragst deinen Lehrer, was er hören will.
Ab Jetzt kannst du weg hören; was ich jetzt sage, ist für die Klausur unintressant. Es gibt Funktionen mit der Eigenschaft
f ( °° ) = ( °° ) ( 3a )
Solche Funktionen will ich der Kürze halber uu-Funktionen nennen von u = unendlich . Die unter Typ 3) aufgelisteten GRF gehören sicher darunter ( und haben eine Asymptote ) Es gibt weitere wichtige uu-Funktionen wie Wurzel und Logaritmus. Die erfüllen sogar noch zusätzlich
f ' ( °° ) = 0 ( 3b )
Schüler fragen immer wieder, ob Wurzel und Log eine Asymptote besitzen. Da sind sich die Lehrer auf einmal einig: nein. Aber warum? Den Fragen der Schüler entnehme ich, dass die Lehrer sie alleine im Regen stehen lassen.
Dies war der Ausgangspunkt meiner eigenen Überlegungen. Und ich kam zu dem Schluss: Die Asymptote ist definiert als uneigentliche Tangente.
Im Endlichen wenn eine Funktion differenzierbar ist, existiert ihre Tangente. Dann folgt auch, dass sie stetig ist; ihr Funktionswert ist wohl definiert.
Und im Unendlichen ist alles anders. Wenn dort eine Funktion differenzierbar ist, kann sie eine Tangente besitzen, muss aber nicht ( Asymptote ist dann nur ein anderes Wort für Tangente. ) Aus der Differenzierbarkeit folgt auch keines Wegs die Stetigkeit; wir sagten ja. Es gibt uu-Funktionen, die eine Asymptote besitzen, aber keinen definierten Funktionswert.
Bilden wir erst mal die Ableitung von ( 2b )
3
f ' ( x ) = - -------------------- ( 4a )
( x + 2 ) ²
Ganz allgemein ist die Tangente g ( x ; x0 ) an die Stelle x0 der lineare Anteil der Taylorentwicklung
g ( x ; x0 ) = f ( x0 ) + ( x - x0 ) f ' ( x0 ) ( 4b )
und mit ( 2b;4a ) haben wir
3 x0 - x
g ( x ; x0 ) = --------------- - 1 + 3 ---------------------- ( 4c )
x0 + 2 ( x0 + 2 ) ²
Was passiert jetzt mit ( 4c ) für | x0 | ===> ( °° ) ? Können wir wirklich rechtfertigen, dass alles außer der Minus Eins den Bach runter geht? Bei dem ersten linken Bruch ist das offensichtlich für x0 gegen Unendlich. Der zweite Bruch ist tückischer. Dieser enthält nämlich die eigentliche x-Abhängigkeit; das Steigungsmaß der Tangente. Und da x0 nur im Nenner vorkommt, geht diese Steigung asymptotisch gegen Null. Aber wie ist die Abhängigeit von x0 ? In x0 stellt der Zähler ein Polynom ersten, der Nenner zweiten Grades dar. Nennergrad > Zählergrad geht gegen Null.
g ( x ; °° ) = const = ( - 1 ) ( 4d )
Immerhin haben wir zum ersten Mal etwas verstanden. Meine Erfahrung aus dem Studium:
" Ich mag sie nicht, diese Überflieger, die da " als " rum rösten, sie hätten schon alles kapiert, und es sei immer alles ganz einfach.
NICHTS ist einfach; und nichts ist selbstverständlich. "
Ach ja; und dann sind da noch die Polstellen. folgende Heuristik; an einer Polstelle verläuft die Asymptote immer vertikal; du schreibst also einfach x = ( - 2 ) Aber lässt sich das auch mittels ( 4c ) rechtfertigen jetzt, wo wir uns extra so viel Mühe gegeben haben? Auf den ersten Blick kriegst du für x0 = ( - 2 ) ja nur lauter divergente Terme. Und da kommt mir der rettende Einfall; auch die Tangente besitzt ja eine Umkehrfunktion
x = x ( g ; x0 ) ( 5a )
Ich will jetzt nicht gleich wieder übertreiben und alles umstellen. Es reicht, wenn wir in ( 4c ) diesen divergenten Nenner weg machen.
3 ( x0 + 2 ) - ( x0 + 2 ) ² + 3 ( x0 - x ) = g ( x0 + 2 ) ² ( 5b )
Wenn jetzt x0 ===> ( - 2 ) , dann fallen sämtliche Terme unter den Tisch, die diesen Klammerausdruck ( x0 + 2 ) haben - die rechte Seite sowieso. Im dritten Term musst du nur setzen x0 = ( - 2 )
3 ( - 2 - x ) = - 3 ( x + 2 ) = 0 ===> x = x ( g ; - 2 ) = comst = ( - 2 ) ( 5c )
