Sind die Vektoren kollinear/komplanar?

Question

Ich muss überprüfen ob die gegeben Vektoren kollinear/komplonar sind.Aber das Problem ist, ich weiß nicht mal ansatzweise wie die Aufgaben gehen, besser gesagt wie ich es rechnen soll.

a) -12      4   ---> kollinear?                         b) 1         0           2 ---> komplanar?
      3       -1                                                      0         1           1

      8        3                                                       1          0           2

Answer 1

Die beiden Vektoren sind aber nicht kollinear zueinander , da  3 * -3 = -9  ist und nicht 8 .....


(   -12)                (  4 )
  (    3  )                 ( -1 )                                            
(   8  )                   ( 3)

Comments

Sie haben mir aber immer noch nicht die Frage beantwortet. Ich würde gerne wissen wie ich es rechnen kann, damit ich weiß ob es kollinear sind.

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Wie lautet denn die Frage ganz genau?
Element95 hat hier begründet, dass die beiden nicht kollinear sind.

Sollst du prüfen, ob die Vektoren kollinear, resp. komplaner sind?

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Ja, ich will wissen wie die Rechnung für die Kontrolle ist. Also einmal für kollinear und einmal für komplaner.

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Mathecoach hat in seiner Antwort die entsprechenden Formeln hingeschrieben.

Wenn du bei a) in der ersten Komponente auf r = -1/3 kommst, muss -1/3 auch bei den andern Komponenten gelten, sonst sind die Vektoren nicht komplanar.

Answer 2

Bei a) sieht man schon an den Vorzeichen, dass diese nicht kolinear sein können.

Bei b) sieht man das die Vektoren komplanar sind, weil 2 * [1,0,1] + 1 * [0,1,0] genau den dritten Vektor ergibt. Damit liegt der dritte Vektor in der ebene der ersten beiden Vektoren.


Zwei Vektoren a und b sind kolinear wenn gilt: b = r * a mit r ∈ ℝ.


Drei Vektoren a, b und c sind komplanar, wenn gilt: c = r * a + s * b mit r, s ∈ ℝ.

Comments

Danke, ich hätte dann noch eine Frage. Wie kommt man auf die Zahlen. Muss ich selber irgendeine Zahl einsetzen ?

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Du kannst r und s auch über eine Gleichung bzw. ein Gleichungssystem ausrechnen.

Für eine Unbekannte brauchst du nur eine Bedingung für 2 Unbekannte brauchst du 2 Bedingungen. Die anderen Bedingungen müssen aber auch erfüllt sein. Das heißt eine mögliche Lösung ist noch mit den anderen Gleichungen zu prüfen.

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Eine kleine Gemeinheit gibt es hier übrigens noch: Wenn zwei Vektoren a und b gegeben sind und es kein r ∈ℝ mit a = r*b gibt, kann man daraus noch nicht folgern, dass a und b linear unabhängig sind ;)

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@Ché: Meinst du den Nullvektor? Den schreibt man einfach an die Stelle von a und nicht an die Stelle von b, damit diese Rechnung klappt.

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Ja, genau den meine ich. Man muss halt aufpassen, der der einem nicht den Spaß verdirbt...

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Das ist ein guter Hinweis. Gerade weil viele Profs in Klausuren zur linearen Abhängigkeit auch mal gerne einen Nullvektor drin haben.
Man sollte wissen das der Nullvektor sich prinzipiell aus jedem anderen Vektor durch multiplikation mit 0 erzeugen lässt. Damit ist der Nullvektor immer linear abhängig zu einem anderen Vektor.

Mir wurde damals auch immer der Leitspruch gelehrt. n linear unabhängige Vektoren spannen einen n-Dimensionalen Raum auf.

Der Nullvektor ist allerdings nicht geeignet einen Raum aufzuspannen.