Die Folge xn sei rekursiv definiert durch x0 = 0 und xn+1 = 1 2 xn + 1 für n ∈ N

Question

Obige Aufgaben sind zu lösen, leider für mich völlig unverständlich (noch).

Answer 1

xo=0 und x_n+1 = 0,5 * x_n + 1

also x₁ = 0,5 * x₀ + 1   =  1

x₂ = 0,5 * x₁ + 1   =  1,5 = 3/2

x₃ = 0,5 * x₂ + 1   =  1,75 = 7/4

Das war a) 

  b)   x_n = 0,5 * x_n-1 + 1
           =0,5* (o,5 x_n-2 + 1 )  + 1

          = 0,25 * x_n-2  + 1,5

c) n=1  x₁ = 2 - (1/2)⁰ = 1 stimmt

n ==> n+1 :.     x_n+1 = 0,5 * x_n + 1 

                                 = 0,5 *(2 - (1/2)^n-1 ) + 1 
                                  = 1  -  0,5 *  (1/2)^n-1 ) + 1 
                                   = 2  -  0,5 *  (1/2)^n-1 ) 
                                     = 2  -   (1/2)ⁿ     Passt !

d)     (1/2)ⁿ geht gegen 0, also hat die Folge den GW 2.