Wie komme ich auf meine Nullstellen bei f(x) = 1/8x^3 - 15/8x^2 +63/8x - 49/8

Question

dieser Funktion 

 

f(x) = 1/8 x³ - 15/8x² +63/8x - 49/8

 

bitte um HILFE 

Answer 1

Hi,

 

f(x) = 1/8 x³ - 15/8x² +63/8x - 49/8 = 0  |*8

x^3-15x^2+63x-49 = 0

 

Nun kann man Absolutglied abschätzen, was wohl eine Nullstelle ist. Dies muss man Raten/Abschätzen.

x=1 ist eine Nullstelle (durch Ausprobieren) -> Polynomdivision:

 

(x^3-15x^2+63x-49) / (x-1) = x^2-14x+49

 

Hier kann man nun die binomische Formel erkennen: x^2-14x+49 = (x-7)^2

x_2,3 = 7

 

Damit haben wir die drei Nullstellen:

x₁ = 1

x_2,3 = 7

 

Grüße

Comments

DANKE dir für die hilfe könntest du mal dasselbe machen mit der Zahl 2 ?? LG

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Gerne :)       .

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weitere Möglichkeiten   wäre die  Cardanischen Formel  oder ein numerisches Verfahren mittels dem die Lösung gesehen wird ...

Answer 2

Hi chrissy, 

die 1. Nullstelle musst Du erraten; setzen wir ein paar Werte für x ein: 

f(1) = 1/8 * 1 - 15/8 * 1 + 63/8 * 1 - 49/8 = (1 - 15 + 63 - 49) / 8 = 0

Die 1. Nullstelle liegt bei x = 1

Gut, das war geschummelt :-)

Wenn Du eine grafikfähigen Taschenrechner hast, kannst Du eine Nullstelle auf die gleiche Art und Weise finden, sonst hilft wirklich nur probieren. 

Jetzt kannst Du eine Polynomdivision durchführen: 

(1/8 * x³ - 15/8 * x² + 63/8 * x - 49/8) : (x - 1) = 1/8 * x² - 14/8 * x + 49/8

1/8 * x³ - 1/8 * x²

______________

               -14/8 * x² + 63/8 * x

               -14/8 * x² + 14/8 * x

              _________________

                                   49/8 * x - 49/8

                                  49/8 * x - 49/8

                                 ____________

                                        0

 

Die Nullstellen des gefundenen Terms 1/8 * x² - 14/8 * x + 49/8

sind die gleichen wie die von x² - 14x + 49

x_1,2 = 7 ± √(49-49)

Also haben wir an x = 7 eine doppelte Nullstelle.

 

Besten Gruß  

Comments

gibt es etwas besonderes in der Funktion bei doppelten Nullstellen ?

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Ja, an einer doppelten Nullstelle schneidet f(x) die x-Achse nicht, sondern berührt sie nur, 

wie zum Beispiel die doppelte Nullstelle bei x = 0 der Funktion f(x) = x²