Gibt es (un)abhängige Vektoren für die die Dreiecksungleichung gilt?

Question

bei a) und b) erkenne ich keine Vektoren, die der Un/Gleichung entsprechen, deswegen hab ich mich etwas rumgelesen und probiert und sah, dass für linear abhängige Vektoren die Gleichung gilt, für unabhängige jeweils die Ungleichung.

Ich weiß jetzt aber nicht, wie ich das beweisen soll...

jeder ansatz wäre hilfreich!! vielen dank

Comments

(b) Ich vermute, dass es das nicht gibt.

Vielleicht kannst du das indirekt zeigen.

Answer 1

a) ja.  Wenn etwa  e ein Einheitsvektor ist dann gilt ||e|| = 1 und || -2e || = 2

aber || e + (-2e) || = || -e || = 1 und   1 < 1 + 2

Comments

dankeschoen! mir sind die einheitsvektoren gar nicht in den sinn gekommen.

ich hab das faelschlicherweise mit b) probiert, war gluecklich als es stimmte, bis ich realisiert habe dass die vektoren abhaengig waren :(

mir faellt nichts für die b) ein, koenntest du mit bitte nur einen ansatz geben?

---

Beim Beweis der Dreiecksungleichung wird ja das " ≤ " letztlich dadurch

begründet, dass das Skalarprodukt <u,v> immer kleiner oder gleich ||u||*||v|| ist.

Und Gleichheit gilt ja dort

(siehe  https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Schwarzsche_Ungleichung#Allgemeiner_Fall )

genau dann, wenn u, v lin. abhängig sind.