Wie zeigt man, dass der Rand einer Randmenge = Randmenge ist

Question

ich frage mich wie man ∂∂M = ∂M zeigt,  fur alle Teilmengen  M eines topologischen Raumes X, die offen oder abgeschlossen sind.

Irgendwie kommt es mir so vor, als das der Rand der Randmenge eine Teilmenge sei..

Danke schonmal

Comments

Kannst du mal ein Beispiel machen?

Gilt denn in der Topologie z.B. dass der Rand des Intervalls [0,1] die Menge M = { 0, 1} ist ? 

Und nun, wenn ich M anschaue, sind die beiden einsamen Punkte in der Ebene auch gerade die Randpunkte von M ? 

Oder 2-dim:

Kreisscheibe K = {(x,y) | x^2 + y^2 ≤ 9 }

Rand von K =  {(x,y) | x^2 + y^2 = 9 } eine Kreislinie? 

Und jetzt: Rand(Rand von K) immer noch einfach die ganze Kreislinie? 

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a ist ein Randpunkt von A, wenn jede Umgebung von a sowohl Punkte aus A als auch Punkte aus dem Komplement von A enthaelt. Deine Beispiele passen schon.

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Um noch einen weiteren Hinweis zu geben: Dass \(A\) abgeschlossen oder offen ist, ist für die Beziehung \(\partial\partial A=\partial A\) von Bedeutung. Man hat z.B. \(\partial\mathbb{Q}=\mathbb{R}\), aber \(\partial\mathbb{R}=\emptyset\).

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Aha. So kommt man zu Löchern und Gegenbeispielen. 

Lässt sich zur Dimension des Randes etwas sagen? 

In R^2 ist ja dann der Rand einer Strecke wieder die Strecke selbst. 

In R^3 wäre die Kreisscheibe  K = {(x,y,0) | x² + y² ≤ 9 } ihr eigener Rand. 

Wie genau ist oder in diesem Satz gemeint?  "fur alle Teilmengen  M eines topologischen Raumes X, die offen oder abgeschlossen sind."

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Generell gilt bloss \(\partial\partial A\subset\partial A\). Wenn aber \(A\) offen oder \(A\) abgeschlossen ist, gilt sogar stets \(\partial\partial A=\partial A\). Sagt jedenfalls die Aufgabe und verlangt nach einem Beweis.

Man kann es mit der Formel \(\partial A=\overline{A}\setminus A^\circ\) probieren. Weil Raender immer abgeschlossen sind,  hat man \(\partial\partial A=\partial A\setminus(\partial A)^\circ\). Ich behaupte mal, dass der Rand von abgeschlossenen oder offenen Mengen nie innere Punkte hat.