Im normierten Vektorraum zeigen Br konvex

Question

wie kann ich folgende Aufgaben angehen?

Sei (V,||·||) ein normierter Vektorraum und x ∈ V , r ∈ ℝ+. Zeigen Sie, dass B_r(x) konvex ist in dem Sinne, dass ∀ v,w ∈ B_r(x), λ ∈ [0,1] : λ_v + (1−λ)w ∈ B_r(x) und dass ∀ v ∈ V : x + v ∈ B_r(x) ⇒ x−v ∈ B_r(x).

Answer 1

Nehmen wir mal \(x=0\) an. Dann ist zu zeigen, dass für \(v,w\in B_r(0)\) und jedes \(\lambda\in[0,1]\) auch \(\lambda v+(1-\lambda)w\in B_r(0)\) gilt. Das geht mit der Dreiecksungleichung: $$|\lambda v+(1-\lambda)w|\le\lambda|v|+(1-\lambda)|w|<r.$$ Denn der mittlere Ausdruck ist ein (gewichtetes) Mittel aus zwei Groessen \({}<r\). Fuer den Allgemeinfall sei als Tipp \(x=\lambda x+(1-\lambda)x\) angegeben.