Beweisen Sie, dass || · ||p keine Norm auf R^n ist, falls 0 < p < 1 und n > 2 sind

Question

Eine Teilmenge A eines ℝ-Vektorraums V heißt konvex, wenn gilt:

Sind x, y ∈ A, so enthält A auch die Verbindungsstrecke {(1 − λ)x + λy | 0 ≤ λ ≤ 1} von x und y.

Für p > 0 und x = (x₁. . . . . . x_n) ∈ ℝⁿ definieren wir ||x||_p := (|x₁|^p + · · · + |x_n|^p)^1/p

Beweisen Sie, dass || · ||_p keine Norm auf ℝⁿ ist, falls 0 < p < 1 und n ≥ 2 sind.

Bemerkung. Für jedes p ≥ 1 ist || · ||_p eine Norm auf ℝⁿ

Answer 1

Hi certi,

man kann ein einfaches allgemeines Gegenbeispiel finden, dass zeigt, dass die Dreiecksungleichung nicht allgemein gültig ist.

Gruß,