Hallo ba,
f(x) = x^5 - 5·x^4 + 5·x^3 + 10
f '(x) = 5·x^4 - 20·x^3 + 15·x^2 = 5x^2 · (x^2 - 4·x + 3) = 5x^2 · (x - 1) · (x - 3)
Die Grenzen für die "jeweiligen Abschnitte" ergeben sich zuerst einmal aus den Nullstellen 0, 1 und 3 der Ableitungsfunktion, weil sich bei dieser in ℝ stetigen Funktion f ' deren Vorzeichen nur bei ihren Nullstellen ändern kann. Das Vorzeichen innerhalb eines Abschnitts erhält man einfach durch Einsetzen eines beliebigen x-Wertes aus dem Innern des Abschnitts:
] - ∞ , 0 ] f ' ist positiv → f ist streng monoton steigend
[ 0 , 1 ] f ' ist positiv → f ist streng monoton steigend
[ 1 , 3 ] f ' ist negativ → f ist streng monoton fallend
[ 3 , ∞ [ f ' ist positiv → f ist streng monoton steigend
Einen Wechsel der Monotonie hat man nur, wenn f ' an der betreffenden Nullstelle sein Vorzeichen ändert. Ggf. kann man dann - wie hier - Intervalle zusammenfassen:
f ist streng monoton steigend in ] - ∞ , 1 ]
Gruß Wolfgang
