Riemannsumme von ln(x) berechnen. INT_(1)^{2} ln(x) dx

Question

 

ich habe hier eine Aufgabe bei der ich mithilfe der Riemannschen Summen folgendes berechnen soll:
$$\int _{ 1 }^{ 2 }{ ln(x)\quad dx } $$

Als Tipp ist gegeben, dass man 
$${ 2 }^{ \frac { j }{ n }  }$$ als Teilpunkte nehmen soll. 

Ich habe bereits ein bisschen was zu der Aufgabe gemacht, komme aber nicht weiter.

$${ S }_{ { \xi  }_{ n } }\left( f \right) =\sum _{ j=1 }^{ n }{ f\left( { \xi  }_{ j } \right)  } \left( { x }_{ j }-{ x }_{ j-1 } \right) =\sum _{ j=1 }^{ n }{ ln\left( { 2 }^{ \frac { j }{ n }  } \right) \cdot  } \left( { 2 }^{ \frac { j }{ n }  }-{ 2 }^{ \frac { j-1 }{ n }  } \right) \\ =\sum _{ j=1 }^{ n }{ ln\left( { 2 }^{ \frac { j }{ n }  } \right) \cdot  } { 2 }^{ \frac { j-1 }{ n }  }\cdot \left( { 2 }^{ \frac { 1 }{ n }  }-1 \right) =\sum _{ j=1 }^{ n }{ \frac { j }{ n } ln\left( { 2 } \right) \cdot  } { 2 }^{ \frac { j }{ n }  }\cdot { 2 }^{ -\frac { 1 }{ n }  }\cdot \left( { 2 }^{ \frac { 1 }{ n }  }-1 \right) \\ =\frac { n }{ n } \cdot \sum _{ j=1 }^{ n }{ \frac { j }{ n } ln\left( { 2 } \right) \cdot  } { 2 }^{ \frac { j }{ n }  }\cdot { 2 }^{ -\frac { 1 }{ n }  }\cdot \left( { 2 }^{ \frac { 1 }{ n }  }-1 \right) =ln\left( { 2 } \right) \cdot n\cdot \left( { 2 }^{ \frac { 1 }{ n }  }-1 \right) \cdot { 2 }^{ -\frac { 1 }{ n }  }\cdot \sum _{ j=1 }^{ n }{ \frac { j }{ { n }^{ 2 } } { 2 }^{ \frac { j }{ n }  } } \\ \underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } \quad n\cdot \left( { 2 }^{ \frac { 1 }{ n }  }-1 \right) =ln\left( 2 \right) \quad ;\quad \underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } { 2 }^{ -\frac { 1 }{ n }  }=1\\ \Rightarrow { ln\left( 2 \right)  }^{ 2 }\sum _{ j=1 }^{ n }{ \frac { j }{ { n }^{ 2 } } { 2 }^{ \frac { j }{ n }  } } =\quad ???$$und ab da weiß ich nicht mehr weiter... 
Falls jemand weiß wie ich da weiter machen kann oder was ich da falsch gemacht habe bitte sagen :D

Ich weiß, dass folgendes rauskommen müsste
$$\int _{ 1 }^{ 2 }{ ln\left( x \right)  } dx=x\cdot \left( ln\left( x \right) -1 \right) { | }_{ 1 }^{ 2 }=2\cdot ln\left( 2 \right) -1$$aber ich komme an der Stelle oben einfach nicht weiter ...


Lipsen

Answer 1

∫21ln(x)dx

Als Tipp ist gegeben, dass man 

2jn

als Teilpunkte nehmen soll.

Wähle zunächst n=2 (also als Teilpunkt x₁=√2) und Zeige, dass die Riemann-Rechtecke über den Intervallen [1;√2] und [ √2;2] gleichgroß sind. Finde  so als erste Näherung des Integrals A₁=2(√2-1). Zerlege jetzt das erste Teilintervall so in die Abschnitte [1;√(√2)]und [√(√2);√2] dass die Riemann-Rechtecke über diesen Intervallen wiederum gleichgroß sind. Finde so als zweite Näherung des Integrals A₂= 4·(2^1/4-1). Dann ist die n-te Annäherung A_n= 2ⁿ·(2^{1/(2^n)}-1).Bestimme jetzt der Grenzwert von A_n für n gegen Unendlich.

Comments

Die Rechnungen sind alle richtig (nicht deine, Roland, sondern Lipsens).

Du kannst 1/n^2 vor die Summe ziehen aber dafür das 2^-1/n  drin lassen und benutzen, dass (zur Abkürzung schreibe ich q statt 2^1/n )  
∑ [ j = 1 bis n ] j·q^j-1  =   d/dj ( ∑ [ j = 1 bis n ] q^j )
   =   d/dj ( q·(qⁿ - 1) / (q-1) )

Dann ableiten, ein wenig Bruchrechnung, du wendest noch zweimal deine Grenzwerte an und das Ergebnis steht da.

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Die Rechnungen sind alle richtig (nicht deine, Roland, sondern Lipsens).

Was ist denn an meinen Rechnungen nicht richtig? (Ich vergaß: Blödmännern erklärst du nichts.)

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Was ist denn an meinen Rechnungen nicht richtig?

Fangen wir mal zunächst mit deinem ersten Satz an :  Zeige, dass die Riemann-Rechtecke über den Intervallen [1;√2] und [ √2;2] gleichgroß sind.
Das kannst du ja mal selbst versuchen. Beachte dabei aber, dass  √2 - 1  <  2 - √2   ist und außerdem   f '(x) > 0 .

Wenn das geklärt ist, kommen wir zu deinen folgenden Sätzen.

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bis d/dj ( ∑ [ j = 1 bis n ] q^j )  versteh ich es, aber irgendwie komm ich nicht auf den letzten part ... ^^
also das j von q^j fehlt mir irgendwie^^ 

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Das ist die Summenformel für die geometrische Reihe.

Korrektur : Mein Fehler : Statt d/dj  muss es d/dq  heißen.

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ahhhh ja jetzt seh ich es auch >.< 

danke^^

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gut habs jetzt gelöst und auch verstanden, danke :D