Limes/ Riemannsumme/ Wurzel

Question

Hallo :)

ich bräuchte mal ein bisschen Hilfe. Ich muss die Aufgabe morgen abgeben. versuche mich schon seit 3 tagen dran. Aber ich raffs einfach nicht :/

Aufgabe: lim_n->∞ 1/n * ⁿ√((2n)!/n!).  1 durch n mal nte Wurzel aus (2n)! durch n!. Nur für den Fall, dass ich die Zeichen nicht ordnungsgemäß gesetzt haben sollte. Wir sollen das mit Riemann lösen.

Ich habe erst mal den wurzelausdruck in exponent umgewandelt: lim_n->∞ 1/n *((2n)!/n!)^1/n

Nun kann man doch mit Logarithmus den Exponenten vorziehen: lim_n->∞ 1/n * 1/n * ln((2n)!/n!)

Frage: korrekt bis hier hin?

Nun habe ich ln(a/b) = ln a - ln b angewendet: lim_n->∞ 1/n * 1/n * (ln(2n)! - ln n!)

denn daraus ergibt sich: lim_n->∞ 1/n * 1/n * (∑²ⁿ_k=1 ln(k) - ∑ⁿ_k=1 ln(k))

das 1/n hab ich nicht zu 1/(n^2) zusammen gefasst, da ich mir nicht sicher bin, ob ich das "richtig" umgeformt hab.

bis hier hin komme ich. danach keine ahnung. Ich würde mich sehr über einen Lösungsweg freuen, da ich das morgen abgeben muss :/

Ich würde mich sehr über eure Unterstützung freuen :)

Answer 1

$$a_n:=\frac{1}{n}\sqrt[n]{(2n)!/n!}=\frac{1}{n}\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\ldots2n}=\sqrt[n]{(1+1/n)(1+2/n)\ldots2}$$
$$b_n:=\ln a_n=\frac{1}{n}\left[\ln(1+1/n)+\ln(1+2/n)+\cdots+\ln 2\right]$$