epsilon Delta Kriterium für eine funktion

Question

Hi:)

Hab folgende Aufgabe und das ist mein Ansatz;

Alle epsilon>0 existiert ein Delta und für alle x Element ohne x0 gilt: |x-x0|< Delta folgt |f(x)-1| <epsilon 

Wie mach ich jetzt weiter?

Answer 1

|f(x)-1| <Epsilon     links mit   f(x)+1 erweitern gibt

<=>  |2x| / ( √ (1+2x) + 1 )   <Epsilon   


<=>  |x| <  ( √ (1+2x) + 1 )   * Epsilon    / 2

und weil  √ (1+2x) in der Nähe von x=0 immer größer als √0,5  ist

<=       |x|  <  ( √ (1,5) + 1 )   * Epsilon    / 2

reicht Delta =  ( √ (1,5) + 1 )   * Epsilon    / 2

Comments

Woher weißt du dass mit dem Wurzel 1+2x ist größer als 1/4?

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Da x ja in der Nähe von 0 ist, kannst du etwa annehmen

-0,25 < x < 0,25

Dann ist    -0,5 < 2x < 0,5 

               0,5 < 1+2x < 1,5

           √0,5 < √(1+2x) < √1,5

          also Wurzel 1+2x ist größer als     √0,5  >   1/4.

(Sogar > 1/2 ! )