Gleichung mit e lösen: 1= 24 × (e^{ -0,4x} - e^{-0,6x})

Question

wie kann ich diese Gleichung lösen? Komme einfach nicht auf das richtige Ergebnis:

1= 24 × (e ^-0,4x - e^-0,6x)

Comments

Achso, es soll 24 * ( den Ausdruck im Term) heißen ;)

Answer 1

Das geht sogar EXAKT:

e^{-3 x/5} ( e^{x/5}-1)=1/24

e^{3 x/5} + 24 = 24 e^{x/5} Substitution: u=e^{x/5};x=ln(u)*5

u³-24u+24=0

PQRST-Formel: http://www.lamprechts.de/gerd/Quartische_Gleichung.html

u1 = -(2 (1 + i sqrt(3)))/(1/2 (-3 + i sqrt(23)))^{1/3} - (1 - i sqrt(3)) (1/2 (-3 + i sqrt(23)))^{1/3}

u2 = -(2 (1 - i sqrt(3)))/(1/2 (-3 + i sqrt(23)))^{1/3} - (1 + i sqrt(3)) (1/2 (-3 + i sqrt(23)))^{1/3}

u3 = 4/(1/2 (-3 + i sqrt(23)))^{1/3} + 2^{2/3} (-3 + i sqrt(23))^{1/3}

Rücksubst:

x1 = ln(-(2 (1 + i sqrt(3)))/(1/2 (-3 + i sqrt(23)))^{1/3} - (1 - i sqrt(3)) (1/2 (-3 + i sqrt(23)))^{1/3})*5

=8.3744034136050537440172876481+15.7079632679489661923132169163975 i

x2 = ln(-(2 (1 - i sqrt(3)))/(1/2 (-3 + i sqrt(23)))^{1/3} - (1 + i sqrt(3)) (1/2 (-3 + i sqrt(23)))^{1/3})*5

=0.234192705737269132476396603359162016611826

x3 = ln(4/(1/2 (-3 + i sqrt(23)))^{1/3} + 2^{2/3} (-3 + i sqrt(23))^{1/3})*5

=7.281673032397405221741023755018131953750957788

Probe mit allen 3 Lösungen:

24*(e^{-4x/10}-e^{-6x/10}),x=8.3744034136050537440172876+15.7079632679489661923132 i

ergibt 1

24*(e^{-4x/10}-e^{-6x/10}),x=0.234192705737269132476396603359162016611826

ergibt 1

24*(e^{-4x/10}-e^{-6x/10}),x=7.281673032397405221741023755018131953750957788

ergibt 1

Answer 2

1 = 24·(e^{- 0.4·x} - e^{- 0.6·x})

Das lässt sich nur über ein Näherungsverfahren lösen

e^{- 0.4·x} - e^{- 0.6·x} - 1/24 = 0 --> x = 7.282