Wann stehen vektoren normal aufeinander?

Question

Hallo:)

Im buch steht die ganze zeit: sind diese Vektoren normal? Oder zb wie bei dieser Aufgabe steht die ganze zeit normal

Meine frage lautet wie erkennt man ob vektoren normal aufeinander stehen. Im buch steht zwar dass ihr skalarprodukt null sein muss aber ich komm trotzdem nicht weiter.

Aufgabe

Ordne den beiden Geraden g und h die passende Eigenschaft zu (s, t ∈ ℝ)

$$1 \quad g: x=\left(\begin{array}{c}{-1} \\ {1} \\ {3}\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}{1} \\ {-1} \\ {3}\end{array}\right) ;\quad h: x=\begin{pmatrix} 0\\1\\3 \end{pmatrix}+t \cdot\left(\begin{array}{c}{-1} \\ {1} \\ {-3}\end{array}\right)\\[30pt] 2\quad g: x=\left(\begin{array}{l} {2} \\ {1} \\ {3} \end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l} {0} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right) ; h: x=\left(\begin{array}{l} {2} \\ {1} \\ {3} \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c} {0} \\ {-2} \\ {-2} \end{array}\right)\\[30pt] 3\quad g: x=\left(\begin{array}{l} {2} \\ {1} \\ {3} \end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{r} {1} \\ {-1} \\ {3} \end{array}\right), \quad h: x=\left(\begin{array}{l} {2} \\ {1} \\ {3} \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l} {1} \\ {0} \\ {3} \end{array}\right)\\[30pt] 4 \quad g: x=\left(\begin{array}{l} {2} \\ {0} \\ {3} \end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c} {0} \\ {-1} \\ {3} \end{array}\right) ; \quad h: x=\left(\begin{array}{l} {2} \\ {0} \\ {3} \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l} {0} \\ {3} \\ {1} \end{array}\right) $$

A  g und h schneiden einander und stehen nicht normal aufeinander

B  g und h sind parallel zueinander

C  g und h sind identisch

D g und h sind zueinander windschief

E g und h stehen normal aufeinander

Answer 1

Hallo Jana,

ich weiß jetzt nicht, wo genau Dein Verständnisproblem ist - aber ich versuche es mal:

'normal' bedeutet hier 'senkrecht zu einander'. Zwei Vektoren sind normal zu einander, wenn sie senkrecht auf einander stehen. In diesem Fall ist ihr Skalarprodukt =0.

Zur Demonstration habe ich Dir mal zwei Vektoren gezeichnet - in 2D damit es nicht zu kompliziert wird:

Die Koordinaten haben die Koordinaten

$$\vec{a}=\begin{pmatrix} 6\\8 \end{pmatrix} \quad \vec{b}=\begin{pmatrix} -4\\ 3\end{pmatrix}$$

Skalarprodukt bedeutet nun, jede Koordinate mit jeder korrespondierenden Koordinate des zweiten Vektor zu multiplizieren und dann alle Produkte addieren. Also in diesem Fall

$$\begin{pmatrix} 6\\8 \end{pmatrix}  \cdot \begin{pmatrix} -4\\ 3\end{pmatrix} =6 \cdot (-4) + 8 \cdot 3=-24+24=0$$

wie Du siehst, ist das Skalarprodukt =0 und damit ist gezeigt, dass beide Vektoren senkrecht auf einander stehen - also normal zu einander stehen. Wenn noch etwas unklar ist, so frage bitte nach.

Gruß Werner

Comments

Dankeschön , Sie haben mir echt weiter geholfen:)

Answer 2

Im buch steht zwar dass ihr skalarprodukt null sein muss 

Das ist richtig. Genauer dass Skalarprodukt der Richtungsvektoren der beiden Geraden gibt 0  wenn sie senkrecht zueinander sind.

Also z.B bei 4):

(0,-1,3)*(0,3,1)=0*0+(-1)*3+3*1=0

Die beiden Geraden sind senkrecht zueinander. Andere Beispiele gehen ebenso.

Answer 3

Ich untersuche dir nur die Richtungsvektoren

1.

Richtungsvektoren sind linear abhängig. Damit parallel oder identisch

2.

Richtungsvektoren sind linear abhängig also wieder parallel oder identisch.

3.

Richtungsvektoren sind nicht parallel.

[1,-1,3] * [1,0,3] = 10 --> Das Skalarprodukt der Richtungsvektoren ist nicht 0. Damit stehen die Vektoren nicht normal (senkrecht) aufeinander.

4.

[0,-1,3] * [0,3,1] = 0 --> Die Richtungsvektoren sind senkrecht zueinander.