Die Steigung einer Funktion an einer Stelle ist die Steigung ihrer Tangente an dieser Stelle.
Tangenten sind Geraden, können also meistens als lineare Funktionen mit der Funktionsgleichung t(x) = mx + n beschreiben werden. Einzige Außnahme ist, dass die Tangente vertikal verläuft, was aber bei quadratischen Funktionen nie der Fall ist.
Für quadratische Funktionen gilt: die Graphen von Funktion und Tangente haben genau einen Punkt gemeinsam. Dieser Punkt soll laut Aufgabenstellung bei x0 liegen, also muss die Gleichung
(1) -2x02 + 4x0 = mx0 + n
genau eine Lösung haben. In Normalform lautet diese Gleichung
(2) x02 + (m-4)/2·x0 + n/2 = 0.
Diese Gleichung hat genau eine Lösung, wenn die Diskriminante 0 ist, wenn also
(3) ((m-4)/4)2 - n/2 = 0
ist. Stellt man diese Gleichung nach n um, so bekommt man
(4) n = 1/8·m2 - m + 2.
Zwischenergebnis: Wenn t(x) = mx + n eine Tangente von p1(x) = -2x2+4x ist, dann besteht der in Gleichung (4) genannte Zusammenhang zwischen m und n. Es fehlt noch der Zusammenhang zwischen x0 und m. Dazu setzt man Gleichung (4) in Gleichung (1) ein:
(5) -2x02 + 4x0 = mx0 + 1/8·m2 - m + 2.
Löst man diese Gleichung nach m auf, so bekommt man
(6) m = -4x0 + 4.
Die Steigung der Funktion p1(x) = -2x2+4x an der Stelle x0 ist -4x0 + 4.