Gleichung einer Funktion, die für eine Stelle x0 die dortige Steigung einer Parabel angibt?

Question

Ich muss allgemein eine Gleichung einer Funktion aufstellen, die für eine Stelle x0 die dortige Steigung einer Parabel angibt. (p1 := -2x²+4x)

Wie muss ich hierbei vorgehen?

Comments

Weisst du schon wie man ableitet, oder musst du die h-methode verwenden?

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Es ginge auch ohne Ableitungsregeln und h-Methode direkt mit der Definition:

f ' (x₀)  =  lim_x→xo  \(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)  

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Könntest du das weiter ausführen?

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Ableitungen haben wir noch nicht :) 

Wolfgang, könnten Sie mir die Formel erklären? 

Grüße 

Answer 1

Die Steigung an einer Stelle bekommst du ja mit dem Tipp von

Wolfgang oder vielleicht hattet ihr auch sowas 

( f( a + h ) + f(a) ) / h  für h gegen 0 gibt die Steigung an der

Stelle a.

Bei deiner Funktion wäre das

( -2(a+h)²+4(a+h)  - ( -2a²+4a)   )   / h

= ( -2a² - 4ah - 2h²  + 4a + 4h  +2a² - 4a )  / h

= (  - 4ah - 2h²   + 4h  )  / h

=   - 4a - 2h   + 4

und für h gegen 0 gibt das -4a + 4

oder mit x0 statt a eben -4xo + 4.

Das ist der Term, der die Steigung von p an der


Stelle xo angibt.

Answer 2

Die Steigung einer Funktion an einer Stelle ist die Steigung ihrer Tangente an dieser Stelle.

Tangenten sind Geraden, können also meistens als lineare Funktionen mit der Funktionsgleichung t(x) = mx + n beschreiben werden. Einzige Außnahme ist, dass die Tangente vertikal verläuft, was aber bei quadratischen Funktionen nie der Fall ist.

Für quadratische Funktionen gilt: die Graphen von Funktion und Tangente haben genau einen Punkt gemeinsam. Dieser Punkt soll laut Aufgabenstellung bei x₀ liegen, also muss die Gleichung

(1)        -2x₀² + 4x₀ = mx₀ + n

genau eine Lösung haben. In Normalform lautet diese Gleichung

(2)        x₀² + (m-4)/2·x₀ + n/2 = 0.

Diese Gleichung hat genau eine Lösung, wenn die Diskriminante 0 ist, wenn also

(3)        ((m-4)/4)² - n/2 = 0

ist. Stellt man diese Gleichung nach n um, so bekommt man

(4)        n = 1/8·m² - m + 2.

Zwischenergebnis: Wenn t(x) = mx + n eine Tangente von p₁(x) = -2x²+4x ist, dann besteht der in Gleichung (4) genannte Zusammenhang zwischen m und n. Es fehlt noch der Zusammenhang zwischen x₀ und m. Dazu setzt man Gleichung (4) in Gleichung (1) ein:

(5)        -2x₀² + 4x₀ = mx₀ + 1/8·m² - m + 2.

Löst man diese Gleichung nach m auf, so bekommt man

(6)        m = -4x₀ + 4.

Die Steigung der Funktion p₁(x) = -2x²+4x an der Stelle x₀ ist -4x₀ + 4.